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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes juin 1960\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soit ABC un triangle rectangle en A dans lequel AB $= 15$ millimètres et AC $= 20$ millimètres.

Par un point M pris sur [AB] on mène la parallèle à (BC) qui coupe (AC) en N.

On obtient un triangle AMN et un trapèze MNCB. On pose AM $= x$.


\begin{enumerate}
\item Évaluer le périmètre $y_1$ du triangle AMN et le périmètre $y_2$ du trapèze MNCB.
\item Étudier les variations de ces périmètres lorsque M décrit le côté AB.

Représentation graphique.
\item Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle ces deux périmètres sont égaux.

Retrouver ce résultat par le calcul ainsi que la valeur de ce périmètre.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

On donne un cercle de centre O et de rayon $R$ et deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

On prend un point M variable sur le quadrant $\widearc{\text{AC}}$ et l'on mène la corde [MP] perpendiculaire à (CD) et la corde [MQ] perpendiculaire à (AB).

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que Q, O et P sont alignés.
\item Démontrer que, M se déplaçant sur l'arc $\widearc{\text{AC}}$, la somme MP$^2 +$ MQ$^2$ reste constante.
\item Prouver que les bissectrices intérieures des angles $\widehat{\text{P}}$ et $\widehat{\text{Q}}$ du triangle MPQ passent chacune par un point fixe et forment un angle constant.

En déduire la courbe sur laquelle se déplace le centre du cercle inscrit dans le triangle MPQ lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{AC}}$.
\end{enumerate}
\end{document}