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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1963}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit l'expression
\[A(x) =(1 - 2x)(x + 1) + 2(x + 3)(2x - 1) + 4x^2 - 1.\]
	\begin{enumerate}
		\item Mettre $A(x)$ sous la forme d'un polynôme réduit et ordonné.
		\item Transformer $A(x)$ en produit de facteurs du premier degré.
		\item Calculer la valeur numérique de $A(x)$ lorsque $x$ et lorsque $x = \dfrac12$ et lorsque $x = - 2 + \sqrt 3$. 
. . 
	\end{enumerate}
\item Soit l'expression
\[B(x) = \dfrac{6x^2 +9x- 6}{3x^2 - 12}.\]
Simplifier cette expression, en indiquant pour quelle valeur de $x$ la simplification n'est pas possible.

Préciser pour quelle valeur de $x$ on a $B(x) = 1$.
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ayant respectivement pour équations
\begin{center}$y = 2x - 1$ \qquad et \qquad $y = x - 2$,\end{center}
dans le plan rapporté à un système d'axes rectangulaires, $x'\text{O}x, y'\text{O}y$.

Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites.

Vérifier graphiquement le résultat.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle isocèle ABC, dans lequel

\[\widehat{\text{BAC}} = \widehat{\text{ACB}} = 30\degres.\]

La perpendiculaire en B à (BC) coupe (AC) en D.

Soient E le pied de la perpendiculaire menée de A à la droite (BD) et H le pied de la perpendiculaire menée de B à la droite (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ADB et DEH sont isocèles.

En déduire que les droites (AB) et (EH) sont parallèles.
\item Comparer les segments [AE], [EH] et [HB] et calculer leur longueur en fonction de AB.

En déduire la valeur des rapports $\dfrac{\text{DE}}{\text{DB}}$ et $\dfrac{\text{AD}}{\text{DC}}$.
\item Les droites (AB) et (CE) se coupent en I et les droites (AE) et (BH) en J.

Démontrer que D est le centre de gravité des triangles BIC et JAB.
\item Comparer les directions des droites (AC) et (IJ) et démontrer que le quadrilatère IACJ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{document}