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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1964}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1964}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1964 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression

\[E(x) = \dfrac{3x^2 - 4}{4 - x^2} + \dfrac{4}{2 - x} - \dfrac2 {2 + x}.\]

et montrer que, toutes simplifications effectuées, elle peut se mettre sous la forme 
\[E(x) = \dfrac{3x}{2 - x}.\]

\item On pose $Y = 3x$ et $y = 2 - x$.

Tracer sur un graphique les droites qui représentent les fonctions $Y$ et $y$, l'unité de longueur imposée sur les deux axes étant $2$~cm.

Calculer les coordonnées du point d'intersection, A, de ces droites et vérifier les résultats sur le graphique.
\item On trace par rapport aux mêmes axes la droite représentative de la fonction $z = - \dfrac x3$.

Cette droite coupe en B la droite $y = 2 - x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point B.
		\item O désignant l'origine des coordonnées, montrer que
le triangle OAB est rectangle en O.
		\item Donner l'équation de la médiatrice du segment OB.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de diamètre [AB]. La perpendiculaire à [AB] en un point H de ce diamètre coupe le cercle aux points C et D.

Soit M un point variable sur \emph{le petit arc} $\wideparen{\text{CB}}$.

La droite (CD) coupe (AM) en I et la tangente en M au cercle en T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (MA) est bissectrice de l'angle $\widehat{\text{CMD}}$
\item Montrer que le triangle TIM est isocèle.
\item Comparer les triangles IMD et ACM et en déduire que
\begin{center}MA $\times$ MI = MC $\times$ MD.\end{center}
\item Montrer que le quadrilatère IHBM est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre, O, et dire sur quelle ligne se déplace le point O quand M décrit \emph{le petit arc} $\wideparen{\text{CB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}