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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On donne le trapèze rectangle ABCD, de hauteur AD $= 4$cm, de bases [AB] et [CD] telles que  AB $= 1$~cm et CD $= 7$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du côté [BC].
\item Soit M un point variable de [DC], entre D et C.

On pose DM $ = x$.

Évaluer, en fonction de $x$, l'aire $y_1$ du triangle MBC et l'aire $y_2$ du trapèze DABM.
\item Construire, dans un système d'axes rectangulaires O$x$, O$y$,les graphes représentant les variations de $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$ quand M décrit le segment [DC].

Limiter ces graphes.

Pour la construction, on prendra, sur O$y$, on prendra 
0,5 cm pour unité et, sur O$x$,\: $1$~cm pour unité.
\item Ces graphes se coupent en un point, dont on indiquera les coordonnées d'après le graphique.

Que peut-on dire, pour cette valeur de $x$ trouvée, des aires $y_1$ et $y_2$ ?

Vérifier par le calcul.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A, dans lequel AB $= 8$~cm et AC $= 6$~cm.

Soit H le pied de la hauteur issue de A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer BC, AH, BH, HC.
\item La circonférence de centre H et de rayon HA coupe (AB) en D et le prolongement de [AC]en E.

Montrer que D, H et E sont alignés.

Comparer les triangles ADE et ABC.

Calculer AD et AE.
\item La perpendiculaire abaissée de A sur (DE) coupe (BC) en O.

Montrer que le triangle AOB est isocèle.

En déduire la position particulière du point O.
\item Montrer que les quatre points B, D, C, E sont sur un même cercle.

Construire le centre, K, de ce cercle avec la règle et le compas.

Quelle est la nature du quadrilatère AHKO ?
\end{enumerate}
\end{document}