\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P{}.C.},
pdftitle = {juin 1971},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Rennes~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après avoir simplifié chacune des fractions :

\[A(x) = \dfrac{4x^2 - 9}{4x^2 + 12x + 9} \qquad B(x) = \dfrac{2x- x^2}{2x^2 + 3x},  \]

calculer $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.
\item Pour quelle valeur de $x$ l'expression $z = \dfrac{2x - 3}{2 - x}$ égale à 1 ? est-elle égale à 0 ?

Calculer la valeur numérique de $z$ pour $x = 1 - \sqrt{3}$.

Rendre rationnel le dénominateur de cette valeur.
\item Représenter dans un système d'axes perpendiculaires les droites $D_1$ et $D_2$ d'équations respectives :

\[y = 2x- 3\qquad  \text{et} \qquad y = 2 - x.\]

Peut-on retrouver graphiquement certains résultats du \textbf{2.} ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un demi-cercle (L) de diamètre [AB] tel que AB $= 8$~cm et de centre O.

Soit [OC] le rayon perpendiculaire à [AB].

Soit I un point quelconque du rayon [OC].

La droite (AI) coupe (L) en M.

Soit H la projection de M sur (AB).

Enfin la droite (BM) coupe la droite (OC) en K.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que AI $\cdot$ AM = AO $\cdot$ AB et en déduire la valeur numérique du produit 

AI $\cdot$ AM.
\item Démontrer que OI $\cdot$ OK = OA $\cdot$ OB et en déduire la valeur numérique du produit 

OI $\cdot$ OK.
\item On suppose maintenant OI $= 3$~cm.

Calculer, dans ces conditions, les longueurs OK, AI, AM et MH.
\item Calculer le sinus de l'angle $\widehat{\text{OKB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}