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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1987}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les nombres suivants.

On demande les valeurs exactes les plus simples et non des valeurs approchées.

\[3 - \dfrac{11}{3}\:; \qquad \dfrac{11}{6} + \dfrac{3}{8}\:; \qquad \dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt 2}\:; \qquad \dfrac{\np{16000}}{\np{24000}}.\]

\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation : $1- 4x \leqslant 3$.
\item Factoriser : $(x +1)^2 - 9$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Parmi les équations suivante
\[\begin{array}{l c l}
y &=&-2,8x + 32,\\
y &=& 1,8x + 32,\\
y &=& 2,12x,
\end{array}\]

entourer celle qui est une équation de la droite $(D)$ représentée
sur le graphique ci-dessous.

Tracer sur le même graphique la droite d'équation: $y = -2,12x + 212$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=0.04cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-10,-20)(140,250)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=300,Dy=300]{->}(0,0)(0,0)(140,250)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-10}{115}{1.8 x mul 32 add}
\uput[u](135,0){$x$}\uput[l](0,245){$y$}
\uput[d](100,0){100}\uput[l](0,32){32}\uput[l](0,212){212}
\multido{\n=0+10}{15}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+10}{26}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(140,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](100,0)(100,212)(0,212)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Le dessin sera fait avec soin en respectant les dimensions.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que AC $= 3~$cm et BC $= 6$~cm.
\item Tracer le point D symétrique du point C par rapport au point A.

Démontrer que le triangle BCD est équilatéral.
\item Calculer la longueur BA.
\item Calculer $\sin \widehat{\text{ABC}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne la figure ci-dessous qui est telle que :

ABF est un triangle rectangle isocèle en A ;

FCD est un triangle équilatéral ;

La droite (DE) est perpendiculaire à la droite (AF).

$\widehat{\text{FBC}} = 110\degres$ ; \quad  $\widehat{\text{BCF}} = 45\degres$.

Sans refaire le dessin, on demande :

\begin{itemize}
\item de déterminer en degrés l'angle $\widehat{\text{BFA}}$ ;
\item de montrer que l'angle $\widehat{\text{BFC}}$ vaut 25 degrés ;
\item de calculer en degrés les angles $\widehat{\text{DFE}}$ et $\widehat{\text{FDE}}$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.8,7.4)
\psline(0.2,6.3)(0.2,0.2)(9.6,0.2)%..BAE..
\psline(8,0.2)(8,5)(1.6,6.6)(0.2,3.4)(3.5,0.2)(8,5)%EDCBFD
\psline(1.6,6.6)(3.5,0.2)%CF
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[l](0.2,3.4){B} \uput[u](1.6,6.6){C}
\uput[ur](8,5){D} \uput[d](8,0.2){E} \uput[d](3.5,0.2){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Dans me plan muni d'un repère orthonormé \Oij, l'unité de longueur
étant le cm, tracer la droite $\left(\Delta_1\right)$, d'équation

\[y = \dfrac12 x + 3.\]

On appelle B le point de la droite $\left(\Delta_1\right)$ de coordonnées (0~;~3).

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point C$\left(5~;~\dfrac{11}{2}\right)$ appartient à la droite $\left(\Delta_1\right)$.
\item On appelle $\left(\Delta_2\right)$ la droite passant par l'origine O et le point A$\left(3~;~\dfrac32 \right)$.

Montrer que la droite $\left(\Delta_2\right)$ est parallèle à la droite $\left(\Delta_1\right)$.
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ et montrer que le triangle ABC est rectangle.
\item Soit M le milieu du segment [BC] et N le point tel que
$\vect{\text{AN}}= 2\vect{\text{AM}}$.

Démontrer que le quadrilatère BACN est un rectangle.
\item Soit E l'image du point B dans la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$.

Démontrer que :

\begin{itemize}
\item E appartient à la droite $\left(\Delta_2\right)$;
\item B est le milieu du segment [EN].
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}