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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small L'année 1994}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small juin 1994}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes juin 1994 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Activités numériques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le plus simplement possible :

\[A = - \dfrac43 - \dfrac32 \times 5 + \dfrac14 ; \quad B = \dfrac{16 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^4}{24 \times 10^{- 3}}\]

\item On donne l'expression :

\[C = (3x- 7)^2 - (3x- 7)(x + 2)\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $C$.
		\item Résoudre l'équation $(3x - 7) (2x - 9) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Le prix d'une place de théâtre est 8$0$~F.

M. Dupont a acheté une carte annuelle d'adhérent. Il obtient ainsi, chaque fois qu'il se rend au théâtre, une réduction de 40\,\% sur le prix de sa place de théâtre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item M. Dupont présente sa carte annuelle d'adhérent au guichet du théâtre.

Quelle somme lui réclame-t-on pour sa place de théâtre ?
\item M. Dupont a payé $150$~F sa carte d'adhérent.

M. Louis, qui n'a pas acheté de carte d'adhérent, l'accompagne chaque fois qu'il assiste à un spectacle.

On appelle $n$ le nombre de spectacles auxquels ont assisté les deux amis.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $n$ la somme totale dépensée par chacun d'eux.
		\item Résoudre l'inéquation $80 n \geqslant  48n + 150$.
		\item À partir de combien de spectacles est-il plus avantageux
d'acheter une carte annuelle d'adhérent ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Activités géométriques}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 3,5 points}

\medskip

ABC est un triangle isocèle de sommet principal A. Le point M est le milieu du segment [BC].

Sans rechercher le point A (qui se trouve à l'extérieur de la feuille) :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire la hauteur issue de A du triangle ABC. Expliquer et justifier cette construction.
\item Construire le milieu N de [AB]. Expliquer et justifier cette construction.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

ABC est un triangle quelconque. Les points D et E sont situés respectivement sur les segments [AB] et (AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les symétriques de A et E dans la symétrie de
centre D.

On les appelle respectivement F et G.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AEFG ?
Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point H, image de D dans la translation de 
vecteur $\vect{\text{EB}}$.
		\item Que peut-on dire des droites (DE) et (BH) ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 3,5 points}

\medskip

Sur la figure ci-après, ABC est un triangle rectangle en A tel que AB $= \sqrt 7$ cm et AC $= 3$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance CB.
\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.

En déduire la valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ à 1 degré près par défaut.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Problème}

\bigskip

Un bac à fleurs a la forme d'un prisme droit dont la base ABCD est un trapèze rectangle en A et D.

\medskip

Le quadrilatère MNIJ représente la surface de la terre utilisable pour des plantations.

Dans ce problème toutes les distances sont exprimées en dm.

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(6.4,2.8)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.2)(1.1,0.2)(1.5,1.5)(0.2,1.5)%DCBA
\psline(1.5,1.5)(3.1,2.2)%BF
\psline(1.1,0.2)(2.7,0.9)(3.1,2.2)(1.8,2.2)(0.2,1.5)%CGFEA
\psline(0.2,1.1)(1.4,1.1)(2.93,1.7)%MNI
\psline[linestyle=dashed](2.93,1.7)(1.8,1.7)(0.2,1.1)%IJM
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.8,0.9)(2.7,0.9)%DHG
\psline[linestyle=dashed](1.8,0.9)(1.8,2.2)%HJE
\uput[r](4.7,2.6){On donne :}
\uput[r](4.7,2.2){AE = MJ = 8}
\uput[r](4.7,1.8){AB = 7}
\uput[r](4.7,1.4){CD = 4}
\uput[r](4.7,1){AD = 6}
\uput[l](0.2,1.5){A} \uput[u](1.5,1.5){B} \uput[d](1.1,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D}
\uput[u](1.8,2.2){E} \uput[ur](3.1,2.2){F} \uput[r](2.7,0.9){G} \uput[ur](1.8,0.9){H}
\uput[l](0.2,1.1){M} \uput[dr](1.4,1.1){N} \uput[dr](2.93,1.7){I} \uput[ur](1.8,1.7){J}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Considérons la face ABCD représentée ci-contre:

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
-- le segment [MN] parallèle A aux bases [AB] et [DC] du trapèze ABCD indique le
niveau de la terre ;

-- la hauteur CK de la terre est inconnue, on pose CK $= x$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(2.6,2.4)
\pspolygon(0.3,0.2)(1.5,0.2)(2.4,1.9)(0.3,1.9)%DCBA
\psline(1.5,0.2)(1.5,1.9)%CL
\psline(0.3,1.4)(2.1,1.4)%MKN
\uput[ul](0.3,1.9){A} \uput[ur](2.4,1.9){B} \uput[d](1.5,0.2){C} \uput[d](0.3,0.2){D}
\uput[ul](1.5,1.4){K} \uput[u](1.5,1.9){L} \uput[l](0.3,1.4){M} \uput[dr](2.1,1.4){N}
\end{pspicture}
\end{minipage}

	\begin{enumerate}
		\item Calculer LB.
		\item Montrer que la distance KN est égale à $\dfrac12 x$, puis exprimer la distance MN en fonction de $x$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'aire $\mathcal{A}(x)$, exprimée en dm$^2$, du rectangle
MNIJ est $\mathcal{A}(x) = 4x + 32$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite d'équation $y =4x + 32$ dans un repère orthogonal, on prendra sur l'axe des abscisses 2 cm pour
une unité, et sur l'axe des ordonnées, 1 cm pour 4 unités.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser le graphique (indiquer les pointillés) pour déterminer l'aire de la surface de terre utilisable pour des plantations lorsque la hauteur de terre est $2,25$ dm$^2$.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\item On souhaite faire pousser dans ce bac des plants de géranium qui nécessitent chacun une surface de terre de 5 dm$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Utiliser le graphique pour déterminer la hauteur de terre
qu'il faut verser dans le bac si l'on veut y planter $10$ géraniums.
		\item Retrouver ce résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{document}