\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Rennes septembre 1951},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{septembre 1951}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes septembre 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip



Soit l'expression
\[E = \left(x^2 - 25\right)^2 - (x - 5)^2.\]

Cette forme de l'expression $E$ sera dite forme (1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item La développer et l'ordonner selon les puissances décroissantes de $x$ ; on obtiendra ainsi une forme de $E$ dite forme (2).
\item Décomposer $E$ en un produit de facteurs.

On commencera par mettre $(x - 5)^2$ en facteur.

On aura ainsi la forme (3) de l'expression.
\item Calculer la valeur numérique de $E$ pour les valeurs suivantes de $x$ :

\[x = 0,\quad  x =5, \quad  x =-4, \quad ; x = \sqrt 5.\]

Pour chacun de ces calculs, il y a une manière d'opérer plus simple que les autres.

Dire à chaque fois quelle forme : 1, 2 ou 3 de l'expression $E$ conduit au résultat de la manière la plus simple.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Sur un demi-cercle de diamètre [AD], de centre O, de rayon $R$, on marque les points B et C tels que l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ soit aigu, l'angle $\widehat{\text{BOC}} = 1$\: droit.

(AB) et (CD) se coupent en P{}, (AC) et (BD) se coupent en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles ABQ, DCQ, ACP, DBP sont isocèles.
\item Quelles sont les hauteurs du triangle APD ?
\item On suppose que la corde [AB] est telle que AB $= R$.

Calculer en fonction de $R$ les longueurs des segmenta [BC], [BD], [BQ], [QD] et [CD].
\item A et D restant fixes, l'angle droit $\widehat{\text{BOC}}$ pivote autour de O.

Quels sont les lieux géométriques de P et Q ?

Comment varie la droite (PQ) lorsque P et Q décrivent leur lieu ?
\end{enumerate}
\end{document}