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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{septembre 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{ \textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Rennes septembre 1960}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier la fraction 
\[A(x) = \dfrac{(x - 3) \left(4x^2 - 25\right)}{
\left(x^2 - 6x + 9\right)(2x + 5)}\]
\item Construire sur le même graphique la droite $D_1$ d'équation $y = 2x - 5$ et la droite $D_2$ d'équation $y = x - 3$.

Comment peut-on utiliser ce graphique pour déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $A(x) = 1$ ?

\item Soient A et B les points d'intersection de $D_1$ et $D_2$ avec l'axe des ordonnées.

Soient C et D les points de $D_1$ et $D_2$, d'abscisse + 4.

Former l'équation des droites (BC) et (AD).

Que peut-on en conclure pour les directions de ces droites ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soit un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2 R$ et de centre O.

On mène la tangente au cercle en B et, par le point A, une sécante rencontrant le cercle en C et la tangente précédente en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer la relation 
\[\text{AC} \cdot \text{AD} = 4 R^2.\]

\item Dans la suite du problème, on suppose que BD $= \dfrac32 R$.

Calculer, en fonction de $R$, les longueurs AD, AC et CD.
\item La droite (OC) coupe la perpendiculaire en D à (BD) en un point O$'$.

Démontrer que les triangles COA et CO$'$D sont semblables et calculer les segments [O$'$C] et [O$'$D].
\item Quelle particularité présente le cercle de centre O$'$ et de rayon O$'$D ?
\end{enumerate}
\end{document}