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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Rennes}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Rennes~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[7pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

Soit l'expression
\[E(x) = (x - 3)^2 + x^2 - 9 - (2x + 1)(3 - x).\]

\begin{enumerate}
\item Effectuer, réduire et ordonner l'expression $E(x)$ par
rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Factoriser l'expression $E(x)$.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on
	\begin{enumerate}
		\item $E(x) > 4x^2 + 30$ ;
		\item $E(x)  = 4x + 1$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}

\medskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $ = 2R$ et de centre O.

La perpendiculaire en O à [AB] et la médiatrice de [AO] coupent ce demi-cercle en C et D respectivement.

On appelle H le milieu de [AO].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs de AD, DH, DC et CB en fonction de $R$.

Donner les valeurs des angles du quadrilatère (ADCB).
\item Soit E l'intersection de (AD) avec (CB) et F l'intersection de (DB) avec (CA).

Montrer que (EF) est perpendiculaire à [AB] en K.
\item Montrer que
\begin{center}ED $\times$ EA = EC $\times$ EB \quad et \quad FD $\times$ FB = FC $\times$ FA.\end{center}
\item Calculer EK.
\end{enumerate}
\end{document}