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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small septembre 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes septembre 1976 \decofourright}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}
\smallskip

On considère les applications $f$ et $g$ de $\R$ dans $\R$ définies par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=&- 3(x - 2)\:\text{et}\\
 g(x) &=&x^2 - 4.
 \end{array}\]

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(5),\: g\left(\frac23\right)$ et $g\left(-\frac23\right)$.
\item $g$ est-elle ou non une bijection ? 

Justifier la réponse.
\item Encadrer $g\left(\sqrt 5 - 2\right)$ sachant que $2,23 < \sqrt 5 < 2,24$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer et développer le polynôme
\[N(x) = (g \circ f)(x).\]
En remarquant que $(g \circ f)(x)$ est une différence deux carrés, mettre le polynôme $N (x)$ sous forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Déterminer et développer le polynôme 
\[D(x) = \dfrac{10}{3}f(x) + 3g(x).\]

Factoriser $D(x)$,
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction rationnelle $p$ de $\R$
dans $\R$ définie par $p(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est son ensemble de définition $\mathcal{D}$ ?
\item Montrer que $p(x)$ peut s'écrire, dans $\mathcal{D}$, \:$\dfrac{8 - 3x}{2 - x}$.
\item Résoudre dans $\mathcal{D}$, les équations 
\begin{center}$p(x) = 5$ \quad et \quad $p(x) = - 6$.\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center}
\smallskip

Dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé \Oij{} on trace le cercle 
$(\mathcal{C})$ de centre O de rayon 2.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point A$\left(- 1~;~\sqrt 3\right)$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$.

Existe-t-il un point autre que A d'abscisse $- 1$, appartenant au cercle $(\mathcal{C})$ ?
\item Soit $x'x$ la droite dont un repère cartésien est
$\left(\text{O},~\vect{\imath}\right)$ et $y'y$ la droite dont un repère cartésien est $\left(\text{O},~\vect{\jmath}\right)$.

La droite dont une équation est $x - y = 0$, coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en deux points B et B$'$, le point B étant le point d'abscisse positive.

Soit H la projection orthogonale de B sur la droite $x'x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point B.

En déduire l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{BOH}}$.

Quelles sont les coordonnées du point B$'$ ?
		\item Soit H$'$ la projection orthogonale de B$'$ sur la droite $x'x$.
		
Montrer que le quadruplet (B, H, B$'$, H$'$) est un parallélogramme.
		\item Soit K le point défini par $\vect{\text{KB}} =- 2\vect{\text{KH}'}$.
		
Calculer les coordonnées du point K.

En déduire que la droite (OK) est orthogonale à la droite (OB).

Déterminer une équation de la droite (OK).

On désigne par K$'$, le symétrique de K par rapport au point O.

Montrer que les points B$'$, K$'$ et H sont alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}