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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1988}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small septembre 1988}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes septembre 1988 \decofourright}}\end{center}

\bigskip

\textbf{Première partie }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Effectuer les calculs suivants (on demande les valeurs
exactes les plus simples et non des valeurs approchées) :

\[\textbf{a.~~}\dfrac23 + 7, \qquad \textbf{b.~~}\dfrac{25}{7} \times \dfrac{28}{15}, \qquad \textbf{c.~~} \dfrac76 - \dfrac43, \qquad  \textbf{d.~~}\dfrac49 : \dfrac53.\]


\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Simplifier l'écriture des nombres suivants: 

\renewcommand\arraystretch{2.1}
\[\begin{array}{l l}
\textbf{a.~~} \dfrac{\np{4800}}{840} ; \qquad &\textbf{b.~~} 3\sqrt 6 + 4\sqrt 6 ;\\
\textbf{c.~~} 8\sqrt 3 - 3\sqrt{27} ;\qquad&\textbf{d.~~}- 3\sqrt{7} \times 2\sqrt{14}
\end{array}\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne $A = (x - 3)\left(x^2 - 8\right) + 4(x - 3).$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A$ sous la forme d'un produit de trois facteurs du
premier degré.
\item Calculer la valeur de $A$ pour $x =- 2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur une droite les points A, B, C pris dans cet ordre tels que AB $= 3$ et BC $= 2$. (B est un point du segment [AC].)
		\item Construire le triangle ABD, rectangle en B, tel que BD $= 4$.
		\item Construire le triangle ACE, rectangle en C, E étant un point de la droite (AD).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer AD.
		\item Déterminer par le calcul un encadrement de la mesure de l'angle $\widehat{\text{DAB}}$ à 1\degres{} près. 
		
(On pourra utiliser l'extrait de table ci- dessous ou la calculatrice.)

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degrés &Cosinus &Tangente &Sinus\\ \hline
52&\np{0,6157}& \np{1,2799} &\np{0,7880}\\ \hline
53&\np{0,6018}& \np{1,3270}& \np{0,7986}\\ \hline
54&\np{0,5878}& \np{1,3764}& \np{0,8090}\\ \hline
55&\np{0,5736}& \np{1,4282}&\np{0,8192}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le cercle de diamètre [DC]; il recoupe le segment [CE] en F. Tracer le segment [DF].
		\item Montrer que le quadrilatère DBCF est un rectangle.
		\item En déduire la longueur DF en centimètres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip

On rappelle que le volume d'un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est donné par :

\begin{center}Volume = longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur\end{center}

Les deux schémas ci-après représentent des récipients: les dimensions sont exprimées en cm.

Le graphique ci-après représente les variations du volume $V_1$ de liquide contenu dans le récipient \textcircled{1} en fonction de la hauteur $h$ de liquide.

Le repère est orthogonal (sur l'axe des abscisses, l'unité est le cm, sur l'axe des ordonnées 1~cm représente $20$~cm$^3$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par simple lecture du graphique (sans faire de calculs), répondre aux questions suivantes:

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,linewidth=1.2pt}
\begin{pspicture}(9.8,5.4)
%\psgrid
\pspolygon(0,0.8)(4.7,0.8)(4.7,1.6)(1.6,1.6)(1.6,4.7)(0,4.7)%devant gauche
\psline(4.7,0.8)(5.5,1.1)(5.5,1.8)(4.7,1.6)%côté droit
\psline(5.5,1.8)(2.3,1.8)(1.6,1.6)
\psline(2.3,1.8)(2.3,4.9)(1.6,4.7)
\psline(2.3,4.9)(0.8,4.9)(0,4.7)
\psline[linestyle=dashed](0,0.8)(0.8,1.1)(5.5,1.1)
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.1)(0.8,4.9)
\psline[linewidth=0.4pt](1.6,0.4)(1.6,1.6)\psline[linewidth=0.4pt](0,0)(0,1.6)
\psline[linewidth=0.4pt](4.7,0)(4.7,0.8)\psline[linewidth=0.4pt](5.5,0.3)(5.5,1.1)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,0.4)(1.6,0.4)\uput[u](0.8,0.34){5}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0,0)(4.7,0)\uput[u](2.35,0){14}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(4.7,0)(5.5,0.3)\uput[ul](5.1,0.15){4}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(5.8,1.1)(5.8,1.8)\uput[r](5.8,1.45){$\ell$}
\rput(1.3,4.4){\textcircled{1}}
%%%%%%%%%%
\psframe(7.2,0.8)(8.8,4.7)
\psline(8.8,0.8)(9.6,1.1)(9.6,4.9)(8.8,4.7)
\psline(9.6,4.9)(8,4.9)(7.2,4.7)
\psline[linestyle=dashed](7.2,0.8)(8,1.1)(8,4.9)
\psline[linestyle=dashed](8,1.1)(9.6,1.1)
\psline[linewidth=0.4pt](7.2,0.8)(7.2,0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](8.8,0.8)(8.8,0.2)
\psline[linewidth=0.4pt](9.6,1.1)(9.6,0.5)
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(7.2,0.2)(8.8,0.2)\uput[u](8,0.2){5}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(9.6,0.5)(8.8,0.2)\uput[u](9.2,0.35){6,4}
\rput(8.4,4.4){\textcircled{2}}
\end{pspicture}

\bigskip


\psset{xunit=1cm,yunit=0.035cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-10)(12,310)
\multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,300)}
\multido{\n=0+10}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(12,310)
\uput[u](10.5,0){$h$ (en cm)}\uput[r](0,305){$V$ en cm$^3$}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,0)(2.5,140)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red]{2.5}{10.5}{20 x mul 90 add}
\psdots(3,150)(9.5,280)
\uput[ul](3,150){A} \uput[ul](9.5,280){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le volume de liquide contenu dans le récipient \textcircled{1}
si la hauteur du liquide atteint $6$~cm ?
		\item Quelle doit être la hauteur de liquide pour que le volume du liquide contenu dans le récipient \textcircled{1} égale $160$~cm$^3$ ?
		\item Quelle est la valeur, en cm, de la longueur $\ell$ indiquée sur le schéma 1 ?
		\item Quelles sont les coordonnées des points A et B ?
	\end{enumerate}
\item Déterminer par le calcul une équation de la droite (AB).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le volume $V_2$ de liquide contenu dans le récipient 2 en fonction de la hauteur $h$ du liquide.
		\item Sur le graphique ci-avant, représenter $V_2$ en fonction de la hauteur $h$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, trouver pour quelle hauteur le deux récipients contiennent un même volume de liquide.
		\item Retrouver le résultat précédent par le calcul.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{document}