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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rennes juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Une route relie les villes A, O et B (O entre A et B). 

Les distances OA et OB sont proportionnelles aux nombres 3 et 4.

Deux cyclistes allant vers O partent à 8 heures, l'un de A, l'autre de B.

La vitesse moyenne du cycliste parti de A est 20 km/h, celle du cycliste parti de B, 28 km/h.

Au bout de 2 h 30 min, les cyclistes n'ont pas atteint O ; ils se trouvent à égale distance de O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance de chacun des cyclistes à la ville 0 à 10~h~30 min et les distances OA et OB.
\item Représenter graphiquement les mouvements des deux cyclistes en prenant comme origine des dates l'heure commune de départ et comme origine des espaces la ville ~ (échelle: 1 cm pour $10$~km et $3$ cm pour $1$~h).
\item Écrire les équations horaires des mouvements des deux cyclistes.

Déterminer l'heure de leur rencontre et les heures de leurs passages en O.

Vérifier sur le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un cercle (O), de centre O et de rayon $R$.

On construit deux diamètres perpendiculaires, [AC] et [BD].

On prend un point M (distinct de D) sur l'arc $\wideparen{\text{ADC}}$.

MB coupe (AC) en un point E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que [ME) est bissectrice de, l'angle $\widehat{\text{AMC}}$.
\item Démontrer que les triangles MBC et MAE sont semblables.

En déduire que MA $\times$ MC = MB $\times$ ME.

Montrer, en calculant ces produits en fonction de H, que cette égalité est vérifiée si M est en D.
\item Pour quelle position particulière du point M sur l'arc AOC le rapport de similitude des triangles MBC et MAE est-il égal à 1 ?

Dans ce cas, que peut-on dire de ces triangles ?
\item Soit M$_1$ le point trouvé à la question 3.

M$_1$B coupe (AC) en E$_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle M$_1$E$_1$C ?
		\item Calculer les mesures des segments E$_1$A et E$_1$C en fonction de $R$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}