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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Rennes}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Rennes juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Sans utiliser les valeurs approchées, montrer que trois de ces nombres
sont égaux :

\[A = \sqrt 5 + \sqrt 5 \,; \quad B = \dfrac{\sqrt{500}}{5} ; \quad C = 2 \sqrt 5 \times \sqrt 5\, ;  \quad D = \sqrt{20}\, ;\quad E= \sqrt{5 + 5}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On donne l'expression $E = (2x + 3)^2 - 16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser $E$.
\item Développer et réduire $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ lorsque $x$ est égal à $-\dfrac12$.
\item Résoudre l'équation : $(2x + 7)(2x - 1) = 0$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

 
Lors d'un concours de pêche, on a pesé les poissons de chaque pêcheur, puis on a réparti les résultats de la façon suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
\scriptsize Masse $x$ en grammes&$0 < x \leqslant 500$&$500 < x \leqslant \np{1000}$&$\np{1000} < x \leqslant \np{1500}$&$\np{1500} < x \leqslant \np{2000}$&$\np{2000} < x \leqslant \np{2500}$\\ \hline
\scriptsize Nombre de pêcheurs&20&10&6&1&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de pêcheurs ayant participé au concours ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le nombre de concurrents ayant pêché plus de \np{1500} grammes ?
		\item Quel est le nombre de concurrents ayant pêché au plus \np{1000} grammes ?
	\end{enumerate}
\item Calculer le pourcentage des concurrents ayant pris une masse $x$ de poisson telle que : $\np{1000} < x \leqslant \np{1500}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.68\linewidth}
On considère une pyramide de hauteur SB = 7 cm et dont la base est un triangle ABC rectangle en A tel que 

AB $= 3$ cm, AC $= 4$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un patron de cette pyramide.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\item On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base ; on obtient
les points B$'$ sur [SB], A$'$ sur [SA] et C$'$ sur [SC] tels que $\dfrac{\text{SB}'}{\text{SB}} = \dfrac37$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle A$'$B$'$C$'$?
		\item Calculer le volume de la pyramide SA$'$B$'$C$'$.
On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mm$^3$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.28\linewidth}
\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(2.4,3)
%\psgrid
\psline(0.2,2.6)(0.2,0.7)(1,0.2)(1.7,0.7)(0.2,2.6)(1,0.2)%SBCASC
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.7)(1.7,0.7)
\psframe(0.2,0.7)(0.4,0.9)
\uput[u](0.2,2.6){S} \uput[r](1.7,0.7){A} \uput[l](0.2,0.7){B} \uput[d](1,0.2){C}
\psline(1.55,0.7)(1.4,0.6)(1.59,0.6)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormal (O, I, J), placer les points :

\begin{center}A$(- 3~;~4)$ ;\quad B(1~;~2 ) ;\quad C$(-1~;~0)$.\end{center}

On utilisera une feuille de papier millimétré (unité : le cm).

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire la droite $d$ d'équation $y = 12 x + 3$. Justifier.
		\item Montrer que le point B est sur cette droite.
	\end{enumerate}	
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite (AC) (lecture graphique ou calcul).
		\item En déduire que les droites $d$ et (AC) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{minipage}{0.67\linewidth}
Dans la figure ci-contre, on veut placer une fenêtre représentée par le rectangle AMNP dans la facade représentée par le triangle ABC.

Le but du problème est de déterminer les dimensions de la fenêtre ayant la plus grande aire.

ABC est un triangle rectangle en A tel que :

AB = 2 m ; AC = 2,5 m.

N est sur [BC], M est sur [AB] et (MN) est parallèle à (AC).

On pose $x =$ MN (distance exprimée en mètres).

Toutes les distances seront exprimées en mètres.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(4,3.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.2,0.7)(2.7,0.7)(2.7,2.7)%CAB
\psline(1.5,0.7)(1.5,1.72)%PN
\psline[linestyle=dashed](1.5,1.72)(2.7,1.72)%NM
\psframe(2.7,0.7)(2.5,0.9)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.2,0.4)(2.7,0.4)\uput[d](1.45,0.4){2,5 m}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3.3,0.7)(3.3,2.7)\uput[r](3.3,1.7){2 m}
\uput[dr](2.7,0.7){A} \uput[ur](2.7,2.7){B} \uput[dl](0.2,0.7){C}
\uput[r](2.7,1.72){M} \uput[u](1.5,1.72){N} \uput[d](1.5,0.7){P}
\uput[u](2.1,1.72){$x$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de Thalès, exprimer la distance BM en fonction de x .
En déduire que MA $= 2 - 0,8 x$.
\item Calculer la hauteur MA de la fenêtre puis son aire lorsque
$x = 0,75$. Même question pour $x = 1,5$.

Pour quelle valeur de $x$ la fenêtre est-elle carrée ? (Donner la valeur exacte puis son arrondi au centimètre.)
\item Sur le graphique ci-après, on a représenté l'aire du rectangle AMNP en fonction de $x$.

Placer sur la courbe les points correspondant aux calculs de la deuxième question.

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.15)(2.6,1.55)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(2.6,1.55)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2.5}{2 0.8 x mul sub x mul}
\rput(1.25,-0.15){valeurs de MN en mètres}
\rput{90}(-0.3,0.8){aire du rectangle AMNP en m$^2$}
\end{pspicture}
\end{center}
%fig parabole
\item Pour des raisons d'esthétique, les dimensions de la fenêtre doivent respecter les conditions suivantes :

$\bullet~~$d'une part, la largeur MN doit être supérieure ou égale à $0,50$ m ;

$\bullet~~$d'autre part, la hauteur MA doit être supérieure ou égale à $0,60$ m. Par le calcul, prouver que $x$ doit alors vérifier : $0,50 \leqslant x \leqslant 1,75$.
\item Par simple lecture du graphique (on fera apparaître les pointillés nécessaires) :
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les largeurs de fenêtre correspondant à une aire de $0,80$ m$^2$ ? Pour ces largeurs, les conditions de la question 4. sont- elles vérifiées ?
		\item À quelle largeur correspond la fenêtre d'aire maximum ? Pour cette largeur, comparer l'aire de la fenêtre et l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}