\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet},
pdftitle = {Rennes septembre 1989},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small septembre 1989}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Rennes septembre 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les valeurs exactes les plus simples possibles des réels :

\[a = \dfrac23 - \dfrac32\:; \ \quad  b = \dfrac{1}{2 - \dfrac17}\:; \: \quad 
c = 7\sqrt 6 - 3\sqrt{96}\:;\:\quad d = \sqrt{100 + 25}.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$f(x) =x^2 - 5x.$

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $f\left(\sqrt 3 + 1\right)$.
\item Factoriser $f(x)$, puis résoudre l'équation $f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Le graphique ci-dessous représente les déplacements de deux voitures $V_1$ et $V_2$ roulant sur la même route entre deux villes A et B. (On lit l'heure sur l'axe des abscisses et les distances sur l'axe des ordonnées.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item À quelle heure V2 se trouve-t-il à 60 km de A ?
\item À quelle distance de A les deux voitures se croisent-elles ?
\item Que se passe-t-il pour $V_1$ entre 9 h 30 et 10 h ?
\item Quelle est la vitesse moyenne de $V_2$ en km/h ? Expliquer.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(- 1.5,-1.5)(11,11)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](0,0)(11,11)
\psaxes[Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(11,11)
\uput[d](0,0){8 heures}\uput[d](4,0){9 heures}\uput[d](8,0){10 heures}
\uput[l](0,1){10 km} \uput[l](0,5){50 km}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(6,6)(8,6)(10,10)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](1,10)(6,0)
\uput[u](7,6){\blue Voiture $V_1$}
\rput{-50}(2.5,8){\red Voiture $V_2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Activités géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

(ABCDEFGH) est le cube dessiné ci-dessous.

La longueur de chaque arête est $3$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver le volume du cube en cm$^3$.
\item Trouver la longueur d'une diagonale d'une face : par exemple la longueur AF.
\item Quelle est la nature du quadrilatère (AFGD) ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(3.9,4.1)
\psframe(0.2,0.2)(2.7,2.7)%HGFE
\psline(2.7,0.2)(3.6,1.4)(3.6,3.9)(2.7,2.7)%GCBF
\psline(3.6,3.9)(1.1,3.9)(0.2,2.7)%BAE
\psline[linestyle=dashed](0.2,0.2)(1.1,1.4)(3.6,1.4)%HDC
\psline[linestyle=dashed](1.1,1.4)(1.1,3.9)%DA
\uput[ul](1.1,3.9){A} \uput[ur](3.6,3.9){B} \uput[r](3.6,1.4){C} \uput[dr](1.1,1.4){D}
\uput[l](0.2,2.7){E} \uput[r](2.7,2.7){F} \uput[d](2.7,0.2){G} \uput[d](0.2,0.2){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Le triangle (ABC) est représenté ci-dessous et on donne
AH $= 6$~cm.

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(3.5,2)
\pspolygon(2.7,1.6)(0.2,0.2)(3.3,0.2)(2.7,1.6)(2.7,0.2)%ABCAH
\psframe(2.7,0.2)(2.5,0.4)
\uput[u](2.7,1.6){A}\uput[l](0.2,0.2){B}\uput[r](3.3,0.2){C}\uput[d](2.7,0.2){H}
\psarc(0.2,0.2){0.3}{0}{30}\psarc(3.3,0.2){0.2}{110}{180}
\rput(0.8,0.35){$30\degres$}\rput(3,0.35){$70\degres$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en degrés les angles $\widehat{\text{HAC}}$ et $\widehat{\text{BAH}}$.
\item Dessiner le triangle (ABC) en vraie grandeur.
\item Calculer AB.
\item Calculer CH.
\end{enumerate}

On pourra utiliser l'extrait de table trigonométrique ci-après :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Degré&Sinus& Cosinus&Tangente\\ \hline
$20\degres$ &0,342 &0,940 &0,364 \\ \hline
$30\degres$ &0,500 &0,866 &0,577\\ \hline
$60\degres$ &0,866 &0,500 &1,732\\ \hline
$70\degres$ &0,940 & 0,342&2,747\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

(ABC) est un triangle isocèle tel que BA = BC $= 8$ cm et AC $= 6$~cm.

H est le milieu du segment [AC] ; E est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC) et F le projeté orthogonal de H sur la droite (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure.
\item Démontrer que F est le milieu de [EC].
\item Soit D l'image du point C dans la translation de vecteur $\vect{\text{BA}}$. 

Démontrer que (ABCD) est un losange.
\item Démontrer que B, H et D sont alignés.
\item Montrer que le cercle $\left(C_1\right)$ de diamètre [AC] passe par E.
\item Démontrer que (BD) est tangente au cercle $\left(C_2\right)$ circonscrit au triangle (CFH).
\end{enumerate}
\end{document}