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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1995}
\rfoot{\small Rennes}
\lfoot{\small septembre 1995}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rennes  septembre 1995~\decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\emph{Les exercices suivants sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer les nombres $A$ et $B$, en donnant les résultats sous forme de fractions irréductibles :

\[A = \dfrac23  - \dfrac34 \times \dfrac59\qquad ; \qquad  B = \left(\dfrac15 - \dfrac23\right) : \left(2 + \dfrac13\right)\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip


Écrire chacun des nombres $C$ et $D$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible :

\[C = 5\sqrt 6 \times 2 \sqrt 3\qquad ; \qquad D =  \sqrt{75}+ 7\sqrt 5 - 2\sqrt{27}\]

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On considère l'expression $E = (2x + 1)^2 - 16$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer la valeur prise par $E$ pour $x = \dfrac32$.
\item Résoudre l'équation: $(2x - 3)(2x + 5) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Un fleuriste compose des bouquets de deux sortes avec des iris et de œillets.

Les uns sont formés de trois iris et de dix œillets et sont vendus $43$~F, les autres sont formés de deux iris et de cinq œillets et sont vendus $25$~F.

Déterminer le prix d'un iris et le prix d'un œillet.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\emph{Les deux exercices sont indépendants}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
SABCD est une pyramide dont la base est un carré de côté AB $= 35$ cm.

Sa hauteur SH mesure $63$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de cette pyramide est \np{25725}~cm$^3$.
\item On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base situé à $27$ cm de la base:
HH$' = 27$~cm.

Calculer le volume du tronc de pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$.
\item Quel est le volume du tronc de pyramide ABCDA$'$B$'$C$'$D$'$ ?
\item Ce tronc de pyramide sert de bac
à fleurs. Un sac de vingt litres de terre suffira-t-il à remplir ce bac ?
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.8,5.8)
%\psgrid
\psline(0,0.2)(3.5,0.2)(4.4,1.7)(2.2,5.4)(3.5,0.2)%ABCSB
\psline(2.2,5.4)(0,0.2)%SA
\psline(1,2.6)(2.93,2.6)(3.42,3.34)%A'B'C'
\psline[linestyle=dashed](1,2.6)(1.49,3.34)(3.42,3.34)%A'D'C'
\psline[linestyle=dashed](0,0.2)(0.9,1.7)(4.4,1.7)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.2,5.4)(1.49,3.34)(0.9,1.7)%SD'D
\psline[linestyle=dashed](2.2,5.4)(2.2,0.95)%SH
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](2.2,0.95)(2.21,2.97)%HH'
\uput[d](0,0.2){A} \uput[d](3.5,0.2){B} \uput[r](4.4,1.7){C}
\uput[dr](0.9,1.7){D} \uput[l](1,2.6){A$'$} \uput[r](2.93,2.6){B$'$}
\uput[r](3.42,3.34){C$'$} \uput[ul](1.49,3.34){D$'$} \uput[u](2.2,5.4){S}
\uput[d](2.2,0.95){H} \uput[ur](2.21,2.97){H$'$}
\end{pspicture}

\end{minipage}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

(O, I, J) est un repère orthonormal, unité 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A(4~;~0),\quad B(0~;~2),\quad C(4~;~2).

Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
\item Calculer la valeur de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$. On donnera la valeur arrondie à 1 degré près.
\item Dessiner, en couleur, l'image du triangle ABC dans la rotation de centre B et d'angle $90\degres$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\item Donner, en expliquant, une équation de la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(5.4,4.5)
\pspolygon(0.6,0.6)(4.3,0.6)(4.3,3.6)(0.6,2.2)%PART
\psline(4.3,3.6)(1.9,0.6)(0.6,2.2)%RMT
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(4.8,0.6)(4.8,3.6)\uput[r](4.8,2.1){4}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.3,0.6)(0.3,2.2)\uput[l](0.3,1.4){3}
\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(0.6,0.2)(4.3,0.2)\uput[d](2.45,0.2){5}
\uput[dl](0.6,0.6){P} \uput[dr](4.3,0.6){A} \uput[d](1.9,0.6){M} \uput[ur](4.3,3.6){R} \uput[ul](0.6,2.2){T}
\rput(2.75,4.4){Échelle 3/4}
\end{pspicture}
\end{center}

Les longueurs sont exprimées en centimètres.

TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que:

\begin{center}
TP = 3 ;\quad  PA = 5 ;\quad  AR = 4
\end{center}

M est un point variable du segment [PA], et on note $x$ la longueur du segment [PM].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on se place dans le cas où x = 3,2. 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure.
		\item Démontrer que dans ce cas, le triangle TRMest isocèle en M.
	\end{enumerate}	
\item En exprimant en fonction de $x$ l'aire du triangle TPM et celle du triangle RMA, montrer que :
\begin{center}
aire TPM $= 1,5x$ et aire RMA $= 10- 2x$
\end{center}

\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O, I, J). L'unité choisie sur l'axe des abscisses est $2$~cm.

L'unité choisie sur l'axe des ordonnées est 1 cm.

Dans ce repère, tracer les droites suivantes:
\begin{center}
$D_1$ d'équation $y = 1,5x$ et $D_2$ d'équation $y = 10 - 2x$.
\end{center}
\item Pour les questions a et b suivantes, utiliser le graphique en faisant apparaître les pointillés nécessaires.
	\begin{enumerate}
		\item Lire la valeur de $x$ pour laquelle l'aire du triangle RMA est égale à 1 cm$^2$. Vérifier par un calcul.
		\item Estimer à un millimètre près, la valeur de $x$ pour laquelle les triangles TPM et RMA ont la même aire.
		
Vérifier par un calcul.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\end{document}