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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\rfoot{\small{Rome juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rome juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] tel que AB $=2R$, de centre O.

Soient A$x$ et B$y$ les tangentes en A et B à  ce cercle $\mathcal{C}$.

En un point C quelconque pris sur le cercle, on mène la tangente, qui coupe A$x$ en D et B$y$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le triangle DOE.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}AD $\times $ BE $= R^2$.\end{center}

Quelle est la position de DE pour laquelle l'aire du triangle DOE est minimum ?
\item On trace (AC), qui coupe D$y$ en F, et (BC) qui coupe A$x$ en G.

Démontrer que les triangles AFB et GBA sont semblables.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}BC $\times $ BG = AC $\times $ AF.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Par un point M extérieur à un cercle $\mathcal{C}$ de rayon  $4$~cm, on mène une sécante qui coupe le cercle en B, puis une autre sécante (MCD), enfin une tangente (ME)

On donne MA $= 4,8$~cm, AB $= 6$~cm, MC $= 6,4$~ cm.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer MD et ME.
\item On mène le diamètre [MO], qui coupe le cercle $\mathcal{C}$ en F et G.

Calculer MO, MF et MG.
\end{enumerate}
\end{document}