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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rome septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit l'expression
\[(2x - 1) (x + 3) + \left(4x^2 - 1\right) - (2x - 1)^2.\]

\begin{enumerate}
\item La développer et l'ordonner suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item Chercher un facteur commun et décomposer en facteurs l'expression donnée.
\item Résoudre l'équation
\[(2x - 1) (x + 3) + \left(4x^2 - 1\right) - (2x - 1)^2 = 0.\]

\item Calculer la valeur que prend le polynôme donné pour $x= 0$ et pour $x = - 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Aux extrémités du diamètre [AB] du cercle $\mathcal{C}$ de rayon $R$ et de centre O, on mène deux tangentes, A$x$ et B$y$.

En un point C quelconque du cercle $\mathcal{C}$ on mêne la tangente, qui coupe A$x$ en D et B$y$ en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle DOE est rectangle. 
\item Démontrer les relations

\begin{center}DE =  DA $+$ EB, et\qquad  AD $\cdot$ BE $= R^2$.\end{center}

\item On trace (AC), qui coupe B$y$ en F et (BC) qui coupe A$x$ en G.

Montrer que les triangles AFB et GBA sont semblables.
\item Démontrer la relation
\begin{center}BC $\times$ BG =AC $\times$ AF.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}