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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1982}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\Large Algèbre}

\medskip

$f$ et $g$ sont deux applications, de $\R$ dans $\R$ définie par

\begin{center}$f(x) = - 2x + 3$\quad et \quad $g(x) = \dfrac12 x - 2$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f( -l),\: f(3),\: g(-2) et g(4)$.
\item Résoudre, dans $\R$
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = g(x)$ ;
		\item $f(x)\leqslant g(x)$.
	\end{enumerate}
\item Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentations graphiques respectives de $f$ et $g$.

Donner une interprétation graphique des résultats de la question 2.
\item Prouver que $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\Large Géométrie}

\medskip

(A, B. C) est un triangle isocèle et rectangle en A tel que : $d$(A, B) $= 4$~cm. 

On considère le point D tel que C soit milieu de [AD].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $d$(B, C) et $d$(B, D).
\item Soit I le milieu de [BD]. Prouver que les droites (CI) et (AB) sont parallèles et calculer $d$(I, C).
\item Prouver que les points A, B et D appartiennent à un même cercle $(\mathcal{C})$ dont on précisera le centre et le rayon.
\item Soit E le symétrique de A par rapport à I.

Prouver que E appartient au cercle $(\mathcal{C})$.

Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, E, D) ?
\item Soit J le symétrique de I par rapport à C.

Quelle est la nature du quadrilatère (A, I, D, J) ?
\end{enumerate}
\end{document}