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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Rouen juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit les quatre polynômes suivants : 

\[\begin{array}{l l}
4x^2 - 4x + 1,& x^2 - 6x + 9,\\
(x - 1)^2 - 4,& x^2 - 1 + x(x + 1).
\end{array}\]

Mettre chacun d'eux sous la forme d'un produit de deux binômes du premier degré.
\item Simplifier la fraction rationnelle
\[A(x) = \dfrac{\left(4x^2 - 4x + 1\right) \left[(x - 1)^2 - 4\right]}{(x^2 - 6x + 9)\left[x^2 - 1 + x(x + 1)\right]}\]

soit $A_1(x)$ la fraction simplifiée.

Calculer la valeur numérique de cette fraction $A_1(x)$ pour $x = + 3$ et pour $x = + 1$.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $A_1(x) = + 1$.
\item Construire sur un même système d'axes de coordonnées rectangulaires, en prenant le centimètre pour unité de longueur sur chaque axe, les droites $(D)$ et $(D')$ représentant les variations des fonctions
\begin{center}$y = 2x - 1$\qquad et \qquad $y' = x - 3$.\end{center}
\item On appelle M le point d'intersection de $(D)$ et $(D')$, P et Q les points d'intersection des droites $(D)$ et $(D')$ avec l'axe des abscisses.

Donner l'équation de la médiane du triangle PMQ relative au côté [PQ].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC rectangle en A.

On trace la hauteur [AH] de ce triangle, que l'on prolonge jusqu'à son intersection, D, avec la parallèle à (AB) menée par C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des triangles ABC et ACD ?
\item Démontrer que AC$^2$ = AB $\cdot$ CD.

On trace le cercle de diamètre AC et la tangente
en H à ce cercle.

Elle coupe (AB) en E et (CD) en F.
\item Montrer que [HE) est médiane du triangle AHB
 et que HE $ = \dfrac{\text{AB}}{2}$.
\item Démontrer que AC$^2 = 4$ HE $\cdot$ HF.
\item On prolonge [CD] au-delà de C d'une longueur
CM = AB.

Montrer que le triangle DAM est rectangle.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B. -} La dernière question est indépendante.
\end{document}