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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Rouen}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Rouen~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression

\[B(x) = 3(x - 2)(x - 1)+ \left(x^2- 4\right)- (2x - 4)(x + 3).\]

\item Soit le polynôme $A(x) = ax^2 + bx + 4$.

Sachant que la valeur numérique de $A(x)$ est $(+9)$ pour la valeur $(-1)$ de la variable $x$ et $(+1)$ pour la valeur $(+1)$ de $x$, calculer $a$ et $b$.
\item Soit la fraction rationnelle


\[F(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{B(x)}\]

Pour quelles valeurs de $x$ est-elle définie ?

Simplifier $F(x)$.

\item Soit $F_1(x) = \dfrac{x - 2}{2x - 7}$.

Calculer sa valeur numérique pour $x = \sqrt{5}$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est rationnel.
\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F_1(x)$ est-elle égale
à $(+ 1)$ ?
\item Pour quelles valeurs de $x$ le numérateur et le dénominateur de $F_1(x)$ sont-ils simultanément positifs ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N.B.} - Les questions 3, 4, 5. 6 sont indépendantes de la
2\up{e} question.

Les questions 4, 5, 6 peuvent être traitées indépendamment
du début du problème.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Sur un axe $x'x$ d'origine O, on place les points A et B tels que

\[\overline{\text{OA}} = -4,5, \quad  \overline{\text{OB}} = 4,5\]

(unité : le centimètre).

M est le point de l'axe tel que

\[\dfrac{\overline{\text{MA}}}{\overline{\text{MB}}} = + \dfrac{1}{4}.\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overline{\text{MA}} = + 3$.
\item On trace le cercle (O) de diamètre [AB] et on mène une sécante quelconque issue de M qui coupe le cercle en C et D.

Montrer que les triangles MCB et MAD sont semblables.
\item Soit (MT) une tangente, issue de M, au cercle (O), T étant le point de contact.

Calculer la mesure du segment [MT].
\item Soit [T]H la hauteur issue de T dans le triangle ATB.

Calculer la mesure du segment [TH].
\item Calculer la tangente trigonométrique de l'angle $\widehat{\text{HAT}}$.
\end{enumerate}
\end{document}