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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit la fonction polynôme 

\[\begin{array}{l l c l}
f :&\R&\to &\R\\
&x &\longmapsto&(x -  1)^2 - 2(x - 1)(x -2) - (2x + 3)(x - 1).
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$ en partant de son expression initiale.
\item Calculer $f(1),\: f(0,5),\: f\left(\sqrt 3\right)$.
\item Construire dans un repère orthonormé les représentations graphiques de

\[\begin{array}{l l c l}
f_1 :&\R&\to &\R\\
&x&\longmapsto& -3x,\\
f_2 :&\R&\to &\R\\
&x& \longmapsto&x -2.
\end{array}\]
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Pour sa consommation d'eau, un ménage paye les $40$ premiers mètres cubes utilisés $1,25$~F le mètre cube : chaque mètre cube supplémentaire étant facturé $1,65$~F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le montant de la facture pour une consommation de $32$ m$^3$.
\item Calculer le montant de la facture pour une consommation de $75$ m$^3$.
\item Si la consommation d'eau est $x$ mètres cubes, quel est le montant $y$ de la facture, en fonction de $x$, dans chacun des cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $x \leqslant 40$ ;
		\item $x > 40$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} on donne les points

\begin{center}A(0~;~2),\qquad 8(6~;~9),\qquad  C(4~;~1),\qquad  D(2~;~10).\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Faire la figure correspondante.

Calculer AB,  AC et BC.

Montrer que le triangle (A, B,C) est rectangle.
\item Démontrer que (A, C, B, D) est un rectangle.
\item Calculer les coordonnées de l'image C$'$ de C dans la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.

Montrer que D et C$'$ sont symétriques par rapport à B.
\item Quelles sont les coordonnées de l'image B$'$ de B dans la symétrie orthogonale d'axe (O$x$) ? 

Soit K le milieu de (BC]. Montrer que le triangle (A, C, K) est rectangle isocèle.
\item La parallèle à (AC) passant par K coupe [AB] en L. Montrer que L est le milieu de [AB].

En déduire que L  est aussi le milieu de [OC].
\end{enumerate}
\end{document}