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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1987}
\rfoot{\small Rouen}
\lfoot{\small juin 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Rouen juin 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Parmi les trois calculs suivants un seul est exact. Le recopier

\medskip



9+7 7
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{9 + 7}{9 - 5} =\dfrac{7}{-5}$.
\item $|10| + |-4| =10 + 4 = 14$.
\item $\left(2 + \dfrac34\right)^2  =4 + \dfrac{9}{16}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère l'expression : 

\[A(x) = x^2 + x\sqrt 6 - 5\sqrt{32}.\]

Calculer $A\left(\sqrt 3\right)$ : on donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée au centième près par défaut.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

$x$ étant un réel, on considère l'expression : 

\[E(x) = (2x + 3)^2 -4\left(\dfrac x2 - 1\right)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $E(x)$.
\item Écrire $E(x)$ sous forme d'un produit de facteurs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

On considère un demi-cercle de centre O et de diamètre [AC] tel que AC $= 10$~cm. 

ABC est le triangle rectangle inscrit dans ce demi-cercle, tel que AB $= \dfrac{\text{AC}}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure. Expliquer la construction du point B.
\item Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
\item Calculer BC.
\item M est le point du segment [AB] tel que AM $=3,5$~cm. La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe [AC] au point N. 

Calculer CN.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

On considère la figure ci-dessous :

\begin{center}AB $= 2$~cm, CD $= 3$~cm, AE $= 2$~cm, EH $= x$~cm.

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(10,3.7)
\psframe(0.2,1.3)(8.9,3.3)%AHCB
\psline(0.2,3.3)(2.4,1.3)(8.9,0.2)(8.9,3.3)(2.4,1.3)%BEDCE
\rput{90}(0,2.3){2 cm}
\psframe(8.9,1.3)(8.7,1.5)\psframe(8.9,3.3)(8.7,3.1)\psframe(0.2,3.3)(0.4,3.1)
\psframe(0.2,1.3)(0.4,1.5)
\uput[d](1.3,1.3){2 cm}\psline[linewidth=0.7pt]{<->}(9.6,0.2)(9.6,3.3)\rput{90}(9.4,1.75){3 cm}
\uput[u](5.8,1.3){$x$~cm}
\uput[dl](0.2,1.3){A} \uput[ul](0.2,3.3){B} \uput[ur](8.9,3.3){C}
\uput[dr](8.9,0.2){D} \uput[d](2.4,1.3){E} \uput[r](8.9,1.3){H}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que l'aire d'un triangle est donnée par la formule :

\begin{center}$\dfrac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2}$\end{center}

On se propose de comparer les aires des trois triangles AEB, BEC et CED quand la longueur $x$ varie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire $S_1$ du triangle AEB.

Calculer BC en fonction de $x$.

Calculer, en fonction de $x$, les aires $S_2$ et $S_3$ des triangles
BEC et CED.
\item Dans un repère orthonormé (unité 1~cm sur chaque axe) tracer les représentations graphiques 
$\left(D_1\right), \left(D_2\right), \left(D_3\right)$ des applications définies par :

\begin{center}
$f_1 : \begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x&\longmapsto&2
\end{array}$\qquad $f_2 : \begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x&\longmapsto&x + 2
\end{array}$\qquad $f_3 : \begin{array}{l c l}
\R&\to &\R\\
x&\longmapsto&\dfrac{3x}{2}
\end{array}$\end{center}

\item Calculer les coordonnées des points d'intersection des droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_3\right)$ puis de $\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$.
\item Utiliser les représentations graphiques de la question 2. pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $S_2= S_3$ ? 
		
Que vaut alors chacune de ces deux aires?
		\item Peut-on avoir $S_1 = S_2 = S_3$ ? 
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}