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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1983}
\rfoot{\small Sarthe}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Sarthe juin 1983 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Soit $f$ l'application, de $\R$ dans $\R$, définie par

\[f(x) = (2x - 3)^2  - (3x + 1)^2.\]

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
\item Factoriser $f(x)$.
\item Résoudre, dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$.
\item L'application $f$ est-elle bijective ? Pourquoi ?
\item Calculer $f\left(\sqrt 3\right)$ ; sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, donner un encadrement à $10^{-1}$ près de $f\left(\sqrt 3\right)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 }

\medskip 

Soit $h$ et $g$ les applications définies par 

\[\begin{array}{l l c l c l l c l}
g :	&\R	&\to 		&\R 	&\text{et}	& h :	&\R				&\to 			&\R\\
	&x	&\longmapsto&5x - 2	&			&		& x 			&\longmapsto	&-x -4.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement dans un repère orthonormé \Oij{} les applications $g$ et $h$.
\item Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites obtenues.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées $(x~;~y)$ de tout point M du cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon 5, vérifient la relation $x^2 + y^2 = 25$.
\item Démontrer qu'il existe deux points A et B du cercle $\mathcal{C}$ ayant tous les deux pour abscisse 4. 

Quelles sont leurs ordonnées respectives ? 

(On désignera par A celui des deux points dont l'ordonnée est positive.)
\end{enumerate}

Soit C le symétrique de A par rapport au point O.

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que C appartient au cercle $\mathcal{C}$ et en déduire que le triangle ABC est rectangle en B.
\item Calculer AB, BC et AC.
\item Soit $x$ la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$.
Calculer $\sin x$,\: $\cos x$ et $\tan x$. 

À l'aide d'une table trigonométrique, donner un encadrement de $x$ à un degré près.
\end{enumerate}
\end{document}