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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Sénégal}
\lfoot{\small juin 1967}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Sénégal juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement le système suivant, de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 4 &=&0,\\
x + 2y - 2 &=&0.
\end{array}\right.\]

On utilisera un système d'axes orthonormé et l'on prendra 1 cm pour unité.
\item Résoudre algébriquement ce même système et
retrouver ainsi les résultats de la question 1.
\item Soit A et B les points où la première droite coupe les axes O$x$ et O$y$, C et D les points où la deuxième droite coupe ces mêmes axes.

Déterminer l'aire du quadrilatère ABDC.
\item Par le point A on mène la perpendiculaire à la droite AB d'équation $x + y - 1 = 0$.

Former l'équation de cette perpendiculaire.

Peut-on déterminer géométriquement l'ordonnée de son point d'intersection I avec l'axe $y'y$ ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un cercle fixe de centre O et de rayon $R$, on trace une corde fixe [AB] de longueur égale au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle.

La perpendiculaire (OM) menée de O à (AB) coupe en P la tangente menée au cercle par le point B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir la relation OM $\times $ OP $= R^2$.

Calculer les longueurs OM, OP{}, MB et PB.
\item Soit C un point quelconque de la corde [AB].

On construit sur le prolongement de [OC] (au-delà de C par rapport à O) le point D tel que OC $\times$ OD $= R^2$.

Démontrer que le triangle OPD est un rectangle et que le quadrilatère CDPM est inscriptible dans un cercle.
\item La droite (PD) coupe en E le prolongement de (AB).

Prouver que les droites (OE) et (PC) sont perpendiculaires.
\item On suppose que MC $= \dfrac{R}{2}$.

Dans ce cas particulier calculer OD et EO.
\end{enumerate}
\end{document}