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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sénégal juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer
\[E(x) = \dfrac{6x^2 + 5x + 5}{25 - 4x^2} - \dfrac{3}{5 + 2x} + \dfrac{2}{5 - 2x},\]
 puis résoudre l'équation $E(x) = 1$ et calculer la valeur 
numérique de $E(x)$ pour $x = \sqrt 3$.
\item Soit la fonction $y = - 2x + 5$.

Construire son graphique $(\Delta)$ dans un repère orthonormé (unité = 1 cm).

Soit A le point de $(\Delta)$ d'abscisse 1. Calculer l'ordonnée de A.

Quelle est l'équation de la droite (OA) ?
\item Résoudre algébriquement le système suivant : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2x + 3y - 25 &=& 0,\\
5x - 2y - 15 &=& 0.
\end{array}\right.\]

\item Soit B le point qui a pour coordonnées la solution du système ci-dessus.

Établir l'équation de la droite (AB) et montrer que (AB) est perpendiculaire à $(\Delta)$.

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit, sur une droite $xy$, les points A, B et C situés dans cet ordre et tels que AB $= 2R$ et 

BC $= 2R$ \:($R$ étant une longueur donnée).

O étant le milieu de [AB], tracer le cercle (O), de centre O et de rayon $R$, puis un demi- cercle (O$'$) de diamètre [OC].

Les cercles (O) et (O$'$) se coupent en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (CD) est tangente au cercle (O).

Tracer les segments [DA], [DO] et [DB] et construire le point H, projection orthogonale de D sur (AB).

Calculer, en fonction de $R$, les mesures des segments [CD], [OH], [DH] et [AD].
\item La parallèle à (DA) menée par C coupe la droite (DB) en K.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les triangles (ADH) et (DCK) sont semblables.
		
Quelle est la valeur du rapport de similitude ?

Calculer la mesure de [CK].
		\item Les droites (DH) et (CK) se coupent en M.
		
Prouver que (MB) et (OD) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}