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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Sénégal}
\lfoot{\small juin 1981}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Sénégal juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que 

\[f(x) = |1 -x|  +2x - 5.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(1)$ et $f\left(\sqrt 2\right)$.
		\item Déterminer les deux ensembles suivants 
		
		\[\begin{array}{l c l}
		A&=&\{x/x \in \R,\: x \geqslant 1\: \text{et} \: f(x) = 0\},\\
		B& =&\{x/x \in \R,\: x \leqslant 1\: \text{et} \: f(x) = 0\}.
		\end{array}\]	
	
En déduire les solutions, dans $\R$, de l'équation $f(x) = 0$.
		\item Montrer que $f$ est une fonction affine par intervalles et construire sa représentation graphique dans le plan $P$ rapporté au repère orthonormé \Oij.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction affine $g$ dont la représentation graphique dans le plan $P$ est la droite $(\Delta)$ contenant les points I$(1~;~-3)$ et J(3~;~1).
	\begin{enumerate}
		\item Construire $(\Delta)$.
		\item Déterminer l'expression de $g(x)$ pour tout $x$ réel.
		\item Représenter graphiquement l'ensemble $E$ des points M du plan $P$ dont les coordonnées $x$ et $y$ vérifient

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&\geqslant & 0,\\
y&\leqslant& 0,\\
2x - y -5&\leqslant& 0.
\end{array}\right.\]

	\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit \Oij{} un repère orthonormé du plan euclidien $P$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants

\begin{center}
A$(-4~;~2)$ \:;\qquad  B(3~;~6)\quad et \quad C$(7~;~-1)$.\end{center}

\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle et isocèle. 

Déterminer les coordonnées du milieu I de (A, C).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point E tel
que $\vect{\text{BE}} = \dfrac43\vect{\text{BC}}$, puis les coordonnées du point F tel
 que $\vect{\text{AF}} = \dfrac14\vect{\text{AB}}$.
		\item Montrer que les droites (FC) et (AE) sont parallèles.
	\end{enumerate}
\item K est le point défini par $\vect{\text{BK}} = \dfrac12\vect{\text{AC}}$.
	
On désigne par $S_1$, la symétrie orthogonale par rapport à (BC) et par $S_2$ la symétrie orthogonale par rapport à (BI).

Donner:
	\begin{enumerate}
		\item l'image du triangle (B, K, C) par $S_1$,
		\item l'image du triangle (B, I, A) par $S_2$,
		\item l'image du triangle (B, K, C) par $S_2 \circ  S_1$,
		\item l'image du triangle (B, I, A) par $S_1 \circ S_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}