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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sénégal septembre 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Le périmètre d'un triangle ABC est égal à $80$~cm et ses côtés, $a,\: b,\: c$, sont proportionnels aux nombres 5,\: 7 et 4.

Déterminer la longueur de ses côtés.
\item Par un point M de [BC], intérieur à [BC], on mène (ME) parallèle à (AB).

Évaluer, en fonction de BM $= x$, le périmètre, $y$, du quadrilatère ABME.
\item Représenter graphiquement les variations de $y$ en fonction de $x$.

Entre quelles limites peut varier ce périmètre ?

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit [AB] un diamètre d'un cercle de centre O et de
rayon $R$.

Par un point C du rayon [OB] tel que AC $= \dfrac43 R$ on mène la perpendiculaire au diamètre [AB] ; elle coupe le cercle en D.

La perpendiculaire menée de O à la corde [AD] coupe [AD] en H et la droite (DC)en E.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que (DO) est perpendiculaire à (AE). 

Quelle est la nature des triangles DOA et DEA ?
\item Calculer en fonction de $R$ les longueurs DC, DA, DH.
\item Comparer les triangles DHE et DCA.

En déduire la valeur de DE.
\item Montrer que les quadrilatères OCDH et AECH sont inscriptibles.

Préciser la position des centres, I et J, des cercles circonscrits à ces quadrilatères et donner la valeur de leur rayon.
\item On mène par A la perpendiculaire (A$z$) au plan du cercle ; soit P un point de (A$z$).

Démontrer que (BD) est perpendiculaire à (PD).
\end{enumerate}
\end{document}