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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1952}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg juin  1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Un terrain rectangulaire ABCD de dimensions 20 m sur 16 m (AB $= 20$~m), est divisé en deux parcelles par une droite (AM) (M sur [DC]).

On pose DM $= x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du triangle rectangle ADM et celle du trapèze ABCM.
\item Représenter graphiquement ces aires quand M se déplace de D à C (prendre sur l'axe des abscisses 1 cm pour 2 m, sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 60 m).
\item Que représentent les coordonnées du point commun aux deux lignes tracées ?
\item Trouver pour quelle valeur de $x$ l'aire du triangle est le 1/3 de celle du trapèze.
\item On représente graphiquement l'équation $y = 24 x$.

Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de cette droite avec celle représentant l'aire du trapèze ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip


On donne un angle $\widehat{\text{XOY}}$ de $60\degres$, une demi-droite [OZ)
à l'intérieur de cet angle et deux points A et C sur OX tels que OA $= 4$~cm, OC $ = 6$~cm.

De A on abaisse sur OZ la perpendiculaire (AM), qui rencontre OY en B et par C on trace la perpendiculaire à OX, qui rencontre OZ en N et OY en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La demi-droite OX étant donnée, construire OY à l'aide de la règle et du compas et justifier la construction.

Achever de construire la figure.
\item Montrer que le quadrilatère AMNC est inscriptible et que le produit OM $\times$ ON est constant.
\item On suppose que OZ soit la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{XOY}}$.

Calculer AM, OM, ON, MN.

En déduire la nature du quadrilatère OANB, la valeur de NB et l'aire  de ce quadrilatère.
\item On suppose maintenant que la demi-droite OZ tourne autour du point O, toujours à l'intérieur de l'angle $\widehat{\text{XOY}}$ ; montrer que le lieu géométrique du centre Q du cercle circonscrit au quadrilatère AMNC est un segment de droite dont on calculera la longueur.
\end{enumerate}
\end{document}