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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]
Strasbourg}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Deux automobiles se déplacent sur la même route d'un mouvement supposé uniforme. Nous représenterons cette route par un axe O$x$, d'origine O et les deux voitures par deux points mobiles, A et B.

Les positions de A et B seront déterminées par leurs abscisses. (Les abscisses seront désignées par $x$.)

On donne les équations horaires de A et B :

A : $x = 60t$ ;

B : $x = 80t - 35$ ;

l'unité de longueur étant le kilomètre, l'unité de temps l'heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la date à laquelle B rejoindra A et la distance du point de rencontre à l'origine.
\item À quelles dates A et B seront-ils séparés par une distance de $20$~km ?

Montrer qu'il y a deux solutions.
\item Représenter graphiquement les mouvements de A et B sur du papier millimétrique (1 heure sera représentée sur le papier par $6$~cm et le kilomètre par 1~millimètre).

Vérifier sur le graphique les résultats des calculs algébriques précédents.
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne une droite $D$ et un segment [AB] de longueur $154$~mm porté par $D$.

On trace les deux segments [AA$'$] et [BB$'$] perpendiculaires à $D$ et d'un même côté de $D$, tels que AA$' = 120$~mm et BB$' =48$mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A$'$B$'$.
\item Montrer qu'il existe sur le segment [AB] deux points, M et N, tels que les triangles NMB$'$ et A$'$NB$'$ soient rectangles respectivement en M et N (M est celui des deux points qui est le plus voisin de A).

Calculer MA et NA.
\item Montrer que les triangles AA$'$M et BB$'$M sont semblables et calculer leur rapport de similitude.

Même question pour AA$'$N et BB$'$N.

Montrer que le triangle A$'$MB$'$ ne peut pas être semblable à AA$'$M.
\end{enumerate}
\end{document}