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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Strasbourg juin 1959}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Les côtés [AB] et [BC] d'un rectangle ABCD mesurent respectivement 8~cm et 10~cm.

On prend un point M sur le segment [AB] et l'on désigne par $x$ la mesure en centimètres de AM.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $y$ du trapèze ADCM.
\item Représenter graphiquement les variations de cette aire quand M se déplace sur le côté [AB].
\item Calculer la valeur de AM pour laquelle l'aire du trapèze est double de celle du triangle BCM.

Montrer que cette valeur peut être déterminée de manière approchée à l'aide du graphique précédent.
\item Calculer, au dixième de millimètre près, le côté du carré qui a même aire que le rectangle ABCD.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} On rappelle que l'aire d'un trapèze s'obtient en multipliant la demi-somme des bases par la hauteur.}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un cercle de rayon $R$, construire à la règle et au compas (sans l'aide du rapporteur) la corde [AB] qui sous-tend un arc de $120\degres$.

Expliquer le principe de cette construction.
\item Déterminer sur le grand arc $\widearc{\text{AB}}$ un point C tel que sa projection H sur (AB) soit le sommet d'un triangle AHC isocèle.
\item Calculer en fonction de $R$ la longueur des côtés [AB] et [BC], celle de la hauteur [BK] et du côté [AC] du triangle ABC, puis son aire.
\item Soient M l'intersection de (BK) avec (CH) et L l'intersection de la droite (AM) avec (BC).

Calculer AL.
\item Démontrer la similitude des triangles ALC et BKC.

Quel est leur rapport de similitude ?
\end{enumerate}
\end{document}