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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1966}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\medskip

\textbf{I}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Factoriser les polynômes
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&(x - 1)^2 + (x + 3)(2x - 2) + 1 - x^2,\\
B(x) &=&(2x + 3)^2 - (x + 4)^2.
\end{array}\]

\item Résoudre l'équation $B(x) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier la fraction rationnelle 
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F(x) = 2$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire dans un système d'axes orthonormé les droites d'équations respectives
\begin{center}$y = x + 2$,\qquad $y = 3x + 7$.\end{center}

\item Calculer les coordonnées de leur point d'intersection, M.

Montrer que son abscisse est la valeur de $x$ trouvée au \textbf{II, 
2.}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un triangle ABC, rectangle en A, et un point K de l'hypoténuse [BC].

La perpendiculaire en K à (BC) coupe les droites (AB) et (AC) en M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles KBM, ABC et KNC.

En déduire les relations AB $\cdot$ KM = AC $\cdot$ KB et KM $\cdot$ KN = KB $\cdot$ KC.
\item Le cercle de diamètre [BC] coupe la droite (KM) en P et P$'$.
Montrer que KP$^2 =$ KP$'^2 =$ KB $\cdot$ KC.

En déduire que KP$^2$ = KP$'^2 =$ KM $\cdot$ KN.
\item On pose AB $= 3a$, \:BC $= 5a$,\: KB $= a$.

Calculer AC, KM, KN et KP en fonction de $a$.
\item Montrer que P et P$'$ sont les points qui divisent le segment [MN] dans le rapport $\dfrac23$.
\end{enumerate}
\end{document}