\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Strasbourg septembre 1952},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{septembre 1952}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Strasbourg septembre 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

Paul et Jacques se promènent sur une route rectiligne.

Arrivés en un point A de cette route, ils aperçoivent un château C, non situé sur celle- ci ; ils veulent s'y rendre.

Paul décide d'y aller à travers champs, en ligne droite. Jacques continue à marcher sur  la route à la vitesse de $6$ km/h, et ne la quitte qu'en B, lorsqu'il est à la plus courte distance de C.

S'étant séparés en A ils arrivent en même temps en C.

Jacques a parcouru 400 m sur la grande route et Paul a compté $625$ pas de $0,80$ m pour aller de A en C.

La vitesse de marche à travers champs est la même pour les deux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver la distance de C à la route.
\item Quelle est la vitesse de marche de Paul ?

Combien de temps ont-ils mis pour aller de A en C ?
\item Si Jacques avait quitté la route en D, milieu de [AB],
pour couper à travers champs, serait-il arrivé avant Paul ?

De combien de secondes ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
On considère un triangle ABC et une droite variable $(D)$ passant par le point A.

On projette orthogonalement le point A en A$'$ sur la 
droite (BC) et les points B, C en B$'$ , C$'$ sur la droite $(D)$ ; on désigne par I le milieu de [BC] et par I$'$ le milieu de [B$'$C$'$].
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\psset{unit=1.6cm}
\begin{pspicture}(3,2.4)
%\psgrid
\pspolygon(0.8,0.3)(2.8,0.3)(1.1,1.4)(0.8,0.3)(1.1,0.3)(1.1,1.4)%BCA
\psline(0,1.05)(2.8,1.95)
\psline(1.8,0.3)(1.38,1.48)
\psline(0.8,0.3)(0.55,1.22)
\psline(2.8,0.3)(2.32,1.78)
\uput[d](0.8,0.3){B} \uput[d](1.1,0.33){A$'$} \uput[d](1.8,0.3){I}
\uput[d](2.8,0.3){C} \uput[ul](0.55,1.22){B$'$} \uput[ul](1.1,1.4){A} 
\uput[ul](1.38,1.48){I$'$} \uput[ul](2.32,1.78){C$'$} \uput[u](0.1,1.1){$(D)$} 
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver, quand la droite $(D)$ pivote autour du point A, les lieux géométriques des points B$'$, C$'$, I$'$.
\item Montrer que, quelle que soit la position de la droite $(D)$ le triangle IB$'$C$'$ est isocèle et le triangle A$'$B$'$C$'$ est semblable au triangle ABC.
\item Pour quelle position de la droite $(D)$ le segment [B$'$C$'$] a-t-il sa plus grande longueur ?
\item Construire la droite $(D)$ de façon que [AA$'$) soit bissectrice de l'angle $\widehat{\text{B}'\text{A}'\text{C}'}$.
\end{enumerate}
\end{document}