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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Strasbourg}}
\rfoot{\small{septembre 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Strasbourg~\decofourright\\[6pt] septembre 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de facteurs du premier degré l'expression:

\[A(x) = \left(x^2-16\right)(3x + 2) - (3x - 12)(x + 4).\]

\item  Soit la fraction :

\[F(x) = \dfrac{A(x)}{(x + 4)\left(x^2 - 8x + 16\right)}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction existe-t-elle ?
		\item Simplifier la fraction $F(x)$ ;
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F(x) = 0$ ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $F(x) = 1$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire les droites $D_1$, et $D_2$ qui représentent les variations des fonctions:
		
\[y_1 = 3x - 1,  \qquad  y_2 = x - 4.\]

		\item Calculer les coordonnées du point I d'intersection de ces
deux droites.
		\item Trouver l'équation de la droite $D_3$ parallèle à $D_1$ et qui
passe par le point M de coordonnées (+2~;~+3).
		\item Trouver l'équation de la droite $D_4$ perpendiculaire à $D_3$
en M.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

Soit un segment [AB] dont la mesure est $4a$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point C tel que $\dfrac{\overline{\text{CA}}}{\overline{\text{CB}}} = - 3$.

Calculer CA et CB.
\item Aux extrémités A et B de ce segment, on élève du  même côté de [AB] les perpendiculaires A$x$ et B$y$ à [AB].

Soit un point M $\in \text{A}x$, la perpendiculaire en C à (CM) coupe 
B$y$ en N.

On appelle P le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur (MN).
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les triangles MAC et CBN sont semblables.
		\item En déduire la relation AM $\cdot$ RN $= 3a^2$.
		\item En supposant que AM $= a$, calculer MC, BN et en déduire la mesure MN.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les quadrilatères AMPC et BCPN sont inscriptibles dans un cercle.

On précisera la position des centres I  et I$'$ de ces deux cercles.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{N. B.} - 2\up{e}/3\up{e} ligne : lire M appartient à A$x$.
\end{document}