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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Sud Viet-Nam}
\lfoot{\small juin 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Sud Viet-Nam juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit l'expression
\[A(x) = \dfrac{(2x - 2)^2}{4} - \dfrac{(2x + 3)^2}{2} + \dfrac{(2x - 5)(2x + 5)}{4} + \dfrac{7 + 6x}{2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer les calculs indiqués et réduire le polynôme obtenu.
\item Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on
	\begin{enumerate}
		\item $A(x) = 0$ ;
		\item $A(x) < 0$ ?
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $y = - 5x - \dfrac{25}{4}$.

Représenter graphiquement cette fonction dans un système d'axes rectangulaires (unités : $2$~cm sur O$x$ ; $1$~cm sur O$y$).

Retrouver graphiquement les résultats de la question 2.
\item On considère la fraction rationnelle
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{3(4x + 5)^2 - 16x^2 + 25}.\]

Pour quelles valeurs de $x$ cette fraction est-elle définie ?

Simplifier $F(x)$ et calculer sa valeur numérique pour $x = \sqrt 3$.

Rendre rationnel le dénominateur du résultat obtenu.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un cercle de centre O, de rayon $R$, et deux tangentes parallèles, $x'x$ et $y'y$, dont les point de contact avec le cercle sont désignés respectivement par A et B.

Par un point C de la tangente $x'x$, tel que AC $= \dfrac{R}{2}$, on mène la deuxième tangente au cercle ; soit M le point de contact.

La droite (CM) coupe $y'y$ en D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que AC $\times$ BD $= \dfrac{\text{AB}^2}{2}$.

En déduire les longueurs  BD et CD en fonction de $R$.
\item Calculer en fonction de $R$ les aires du quadrilatère ABDC et du triangle COD.
\item (AM) et (OC) se coupent en I, (BM) et (OD) se coupent en J.

Montrer que le segment [IJ] a pour longueur $R$.

Calculer le rapport des aires des triangles OIJ et AMB, le rapport des aires des triangles OIJ et COD et l'aire du quadrilatère CIJD.
\end{enumerate}
\end{document}