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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Sud Viet-Nam}
\lfoot{\small septembre 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Sud Viet-Nam septembre 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

On considère les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=&(3x + 4)^2- (2x - 2)^2,\\
B(x)&=&(x + 6)^2 - (x - 2)(x + 6) + x^2 - 36.
\end{array}\]


\medskip

\begin{enumerate}
\item Transformer les expressions $A(x)$ et $B(x)$ en produits 
de facteurs du premier degré.

En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $A(x)$ prend la valeur numérique 0.

Même question pour l'expression $B(x)$.
\item On donne à $x$ la valeur numérique $\sqrt{11}$.

Calculer la valeur numérique correspondante de $B\left(\sqrt{11}\right)$.

Calculer les valeurs approchées de $\sqrt 11$ à $\dfrac{1}{\np{10000}}$ près par défaut et par excès.

En déduire des valeurs approchées de $B\left(\sqrt{11}\right)$
de $\sqrt{B\left(\sqrt{11}\right)}$ par défaut et par excès.
\item On considère la fraction $F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ est-elle définie ?

Simplifier cette fraction.

Soit $F_1(x)$ la fraction simplifiée.

Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F_1(x)$ est-elle égale à $1$ ?

Peut-on trouver une valeur de $x$ pour laquelle la fraction $F_1(x)$ est
égale à $5$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un angle droit $x\text{O}y$. Sur le côté O$x$ on porte le segment [OA] de longueur donnée $a$ et, sur O$y$, le segment [OB] de longueur $2a$.

Soit A$'$ et B$'$ les projections orthogonales de A et B sur la bissectrice, O$t$, de l'angle $\widehat{x\text{O}y}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles OAA$'$ et OBB$'$ ? Calculer AA$'$, OA$'$, OB$'$ et BB$'$ en fonction de $a$.

Montrer que le cercle $(C)$ passant par A, A$'$ et B$'$ est tangent en A à O$x$. 

Calculer son rayon.
\item La droite (AB) coupe O$t$ en I et coupe le cercle $(C)$ en A et en un deuxième point, J.

Calculer les rapports $\dfrac{\overline{\text{OA}'}}{\overline{\text{OB}'}}$ et $\dfrac{\overline{\text{IA}'}}{\overline{\text{IB}'}}$.

Calculer IA$'$, IB$'$, IA, IB, IJ et AJ en fonction de $a$.
\item Soit M le milieu de [OB].

Montrer que les quatre points B, B$'$, J et M appartiennent à un même cercle.

Calculer la puissance du point A par rapport à ce cercle.
\end{enumerate}
\end{document}