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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Sud-Cameroun juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $P(x)$ le polynôme de la variable réelle $x$ défini par
\[P(x) = 2\left(x^2 - 2x + 1\right) + 1 - x^2 + (x - 1) (2x - 1).\]

Écrire $P(x)$ sous forme d'un produit de facteurs.
\item Soit $F(x)$ la fraction rationnelle définie par
\[F(x) = \dfrac{P(x)}{ 9x^2 - 4}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de $F(x)$ ?
		\item Sur cet ensemble, simplifier $F(x)$.
		\item $F(x)$ peut-elle être égale à $1$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère les fonctions $f_1$, et $f_2$ qui, à $x$, font correspondre respectivement 
\begin{center}$f_1(x) = x - 1$\qquad  et \qquad $f_2(x) =  3x + 2$.\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Tracer les droites qui représentent ces fonctions.
		\item Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection, I.
		\item Montrer qu'en ce point $F(x) = 1$ et retrouver le résultat de la question 2. c.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère, dans le plan de la figure, le cercle $(\mathcal{C})$ de centre O et de rayon $a$ ($a$ est un nombre réel positif).

Construire deux points B et C de ce cercle tels que $\widehat{\text{BOC}} = 60\degres$, et la tangente en C au cercle.

On appelle A la projection orthogonale de B sur cette tangente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer la longueur des segments [BC], [AB] et [AC]
en fonction de $a$, puis de [OA] en fonction de $a$.
\item Les diagonales, [OA] et [BC], du quadrilatère (OBAC).
dont on précisera la nature, se coupent en I.
\item Calculer la longueur des segments [IA], [IO], [IB] et [IC] en fonction de $a$.
\item La droite (AB) recoupe le cercle en B$'$.

Calculer de deux façons la puissance de A par rapport à $(\mathcal{C})$. En déduire la longueur de [AB$'$] en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}