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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Syrie juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Le point A ayant pour coordonnées $x = 9, y = 6$, déterminer l'équation de la droite (OA) (O désignant l'origine des coordonnées).
\item Soit H la projection de A sur O$x$.

Déterminer le point B de l'axe O$x$ tel que le triangle OAB soit rectangle en A.

Équation de la droite (AB).
\item Sur la hauteur [AH] du triangle OAB on marque le point P tel que HP $= p$.

Par P on mène la parallèle à (OB), qui coupe (OA) en M et (AB) en N.

De M et N on mène les perpendiculaires (MM$'$) et (NN$'$) sur (OB).

Évaluer le demi-périmètre, $z$, du rectangle ainsi formé.

Étudier et représenter graphiquement les variations de $z$ lorsque P décrit [HA].

Déterminer graphiquement la valeur de $p$ pour laquelle ce rectangle devient un carré.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un demi-cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On prend un point M sur le rayon [OA] et l'on décrit le cercle de centre A, de rayon AM, qui coupe le demi-cercle précédent $\mathcal{C}$ en C.

On trace [OC], qui recoupe le cercle de centre A en D.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles OAC et CAD sont semblables et en déduire que AM est moyenne proportionnelle entre OA et CD.
\item Quand M décrit le segment [AO], sur quelle courbe se déplace le milieu I de [CD]?
\item Construire le point M pour lequel les longueurs OD, DI et IC, sont égales.
\end{enumerate}
\end{document}