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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Syrie juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\textbf{I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre les expressions suivantes sous la forme de produits de facteurs du premier degré en $x$ :

\[\begin{array}{l c l}
A(x)&= & (2x +3) (5x - 7) + (2x +3)^2 - (2x + 3) (x - 1) ;\\
B(x)&= & (5x + 2)^2 - (3x - 6)^2.
\end{array}\]

\item Peut-on simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ ?
\item Résoudre l'équation $\dfrac{A(x)}{B(x)} = \dfrac12$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II}

\medskip

Représenter graphiquement par rapport à un même système d'axes de coordonnées les fonctions suivantes :
\begin{center}$y = 2x - 7$ \qquad et \qquad  $y = - 3x + 3$.\end{center}

Les deux courbes obtenues se coupent en un point, P{}, dont on calculera les coordonnées.

Déterminer l'équation de la droite (OP), joignant le point P à l'origine des axes.

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un angle $x\text{O}y$, deux droites $(D)$ et $(D')$ qui passent par O et sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle $x\text{O}y$, un point A sur $(D)$, un point A$'$, sur $(D')$.

Soient P et P$'$ les projections orthogonales de A et A$'$ sur O$x$, Q et Q$'$ les projections orthogonales de A et A$'$ sur O$y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles OAP et OAQ sont respectivement semblables aux triangle OA$'$Q$'$ et OA$'$P$'$.

En déduire la relation
\begin{center}OP $\times$  OP$' =$ OQ $\times$ OQ$'$.\end{center}
\item Démontrer que les triangles OPQ et OP$'$Q$'$ sont semblables.

Démontrer que les quatre points P{}, Q, P$'$, Q$'$ sont sur un même cercle.
\item Démontrer que les triangles APQ et A$'$P$'$Q$'$ sont semblables.
\item La droite AA$'$ coupe O$x$ et O$y$ respectivement en M et N.

Comparer les triangles NA$'$Q$'$ et NAQ, puis les triangles APM et A$'$P$'$M.

En déduire la relation

\[\dfrac{\text{AM} \times \text{AN}}{\text{A}'\text{M} \times \text{A}'\text{N}} = \left(\dfrac{\text{OA}}{\text{OA}'} \right)^2.\]
\end{enumerate}
\end{document}