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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{septembre 1955}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Syrie  septembre 1955}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip



Un bassin parallélépipédique, dont les trois dimensions sont respectivement 1~m, 1~m et 1,5~m, est rempli par un robinet qui débite $200$~l par minute et vidé par une pompe qui aspire $150$~l par minute.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la capacité, en litres, du bassin et au bout de combien de temps est-il plein ?
\item On appelle $y_1$ le nombre de litres fournis par le robinet en $x$ minutes et $y_2$ le nombre de litres aspirés par la pompe dans le même temps.

Établir les relations 
\begin{center}$y_1 = 200x$\qquad  et \qquad $y_2 =150x$.\end{center}

Représenter graphiquement ces fonctions et retrouver le résultat de la question 1.

\item Le bassin étant plein on ferme le robinet et l'on continue à faire fonctionner la pompe.

Soit $y$ la quantité d'eau restant dans le bassin au bout de $x$ minutes de fonctionnement de la pompe.

Établir la relation 
\[y = \np{1500} - 150x.\]
Représenter graphiquement $y$.

En déduire le temps au bout duquel le bassin est à moitié vide.

(Méthode graphique et méthode algébrique.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne deux cercles de centre A et B, de rayons $3$~cm et $12$~cm, tangents extérieurement au point F, et l'on appelle A$'$ et B$'$ les points de contact d'une tangente commune extérieure.

La perpendiculaire en F à (AB) coupe A$'$B$'$ en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que M est le milieu de A$'$B$'$ et que (OM)
est perpendiculaire à (A$'$B$'$) (O est le milieu de [AB]).
\item Montrer que le triangle AMB est rectangle ; en déduire les valeur de MF, MA, MB.

Calculer les deux dernières à 1~mm près par défaut.

Quelle est la longueur  A$'$B$'$ ?
\item (AB) et (A$'$B$'$) se coupent en I.

Calculer le rapport $\dfrac{\text{IA}'}{\text{IB}'}$.

En déduire la longueur  IA$'$ et  IB$'$.
\item A et B restant fixes et les rayons des cercles variant de façon que ceux-ci restent tangents extérieurement au point K, trouver K pour que A$'$B$'$ fasse avec (AB) un angle de $60\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}