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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Tchad juin 1963~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme de produit de facteurs du premier degré l'expression
\[(2x + 3)^2 - (x - 5)^2.\]
\item Soit la fraction rationnelle 
\[y = \dfrac{(2x + 3)^2 - (x - 5)^2}{x + 8}.\]

Pour quelles valeurs de $x$ est-elle nulle ou n'a-t-elle pas de sens ?

\item Simplifier la fraction rationnelle $y$ et tracer la droite représentative $(D)$ des variations de $y$ en fonction de $x$ (prendre pour unité le centimètre).
\item Sur le même graphique, une droite $(D')$ passe par
les points A$(- 3~;~3)$ et B$\left(4~;~\dfrac23\right)$.

Quelle est l'équation de la droite $(D')$ ?

Quelles sont les coordonnées de l'intersection, I, des droites $(D)$ et $(D')$ ?
\item Les droites $(D)$ et $(D')$ déterminent, avec l'axe de abscisses, un triangle ICD.

Quelle est la nature de ce triangle ?

Quelle est l'aire de ce triangle ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$ on mène deux diamètres rectangulaires, [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment [CD] en P et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$ ?

En conclure que le quadrilatère DPMB est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre, I.

Comment varie le point I lorsque le point P décrit le segment [CD] ?
\item Démontrer que les triangles ABM et AOP sont semblables et en déduire la valeur du produit AP $\cdot$ AM
en fonction de $R$.
\item On suppose que $\widehat{\text{BAM}} = 30\degres$.

Calculer les longueurs BM, AM, OP et AP en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}