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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Téhéran juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites représentatives des fonctions 
\begin{center}$y = - \dfrac{3x}{2} + \dfrac{15}{2}$, \qquad  $y = \dfrac{2x}{3} + 1$.\end{center}

La première droite coupe $x'x$ en A et $y'y$ en B, la seconde coupe $x'x$ en A$'$ et $y'y$ en B$'$.

Quelles sont les coordonnées de ces quatre points ?
\item Calculer les coordonnées du point C où ces de droites se coupent.
\item Former les équations des deux droites AB$'$ et A$'$B.

En déduire qu'elles sont perpendiculaires.
\item Montrer que le point C est sur la bissectrice de l'angle $\widehat{x\text{O}y}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On mène par un point variable T d'un demi-cercle $\mathcal{C}$ de diamètre [AB] une tangente qui coupe respectivement en M et N les perpendiculaires A$x$ et B$y$ à ce
diamètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{MON}}$.
\item Démontrer que 
\begin{center}AM $\times$ BN = $\overline{\text{OA}}^2$.\end{center}
\item A$'$ étant l'intersection de (BT) et de A$x$, B$'$ l'intersection de (AT) et de B$y$, démontrer que M et N sont les milieux respectifs des segments [AA$'$] et [BB$'$].
\item Démontrer que les trois droites (MN), (A$'$B$'$) et (AB) sont concourantes (sauf dans le cas où le point T vient au milieu de l'arc $\widearc{\text{AB}}$).
\end{enumerate}
\end{document}