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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{septembre 1955}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Téhéran septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement sur un même système d'axes.de coordonnées, en prenant 2 cm par unité, les droites ayant pour équation
\[(D)\qquad y = \dfrac{x + 1}{2},\qquad  (D')\qquad y = -2x + 3.\]

\item Calculer les coordonnées du point, A, de rencontre
de ces deux droites.
\item On prend sur la droite $D$ le point B d'abscisse $x = 3$  et sur la droite D' le point C d'abscisse $x = -1$ ; déterminer l'ordonnée de chacun de ces points.

Former l'équation de la droite (BC).
\item La droite $(D)$ (ou (AB)) coupe l'axe $x'x$ en un point M
; former l'équation de la droite passant par M et perpendiculaire à D (ou (AB)),

Montrer que cette droite est parallèle à $D'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un triangle ABC rectangle en A et la hauteur [AH] relative à l'hypoténuse.

De H comme centre, avec un rayon égal à HA, on décrit un cercle, qui coupe respectivement les côtés [AB] et [AC] aux points D et E.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les trois points D, H et E sont en ligne droite.
\item Démontrer que les deux triangles ABC et ADE sont semblables.
\item Montrer que les quatre points B, D, C, E sont sur un même cercle.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}BH $\times$ HC $= \dfrac{\text{DE}^2}{4}$~\end{center}

\item Calculer la valeur du rapport de similitude des deux triangles ABC et ADE lorsque l'angle $\widehat{\text{B}} = 30\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}