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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Tel Aviv }}
\rfoot{\small{juin 1960}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Tel Aviv  juin 1960\\[7pt]}ENSEIGNEMENT LONG}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\textbf{I.}

\medskip

Calculer deux nombres $x$ et $y$, sachant que : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y &=& 28,\\
\dfrac xy& =& \dfrac 43
\end{array}\right.\]

\textbf{II.}

\medskip

Calculer deux nombres $x$ et $y$, sachant que : 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac xy& =& \dfrac 53,\\
x^2 + y^2&=& 136
\end{array}\right.\]

\textbf{III.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer les droites $(D)$ et $(D')$ d'équations respectives 
\begin{center}$y = x + 2$\qquad  et \qquad $y = - 2x + 3$.\end{center}

\item Quelles sont les coordonnées du point d'intersection A de ces deux droites ?

Déterminer l'équation de la droite (OA).
\item On achève la construction du parallélogramme dont trois sommets sont le point A, le point B d'intersection de $x'x$ avec $D$ et le point C d'intersection de $x'x$ avec $D'$.

Quelles sont les équations des côtés du parallélogramme et les coordonnées du quatrième sommet E ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soit un cercle de centre O et de rayon 3 cm, sur lequel on prend un point A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le cercle de centre O$'$, de rayon 4~cm tangent en A à (OA).

Il recoupe le cercle (O) en B, coupe (OO$'$) en H.

Calculer OO$'$, OH, AB, le sinus et le cosinus de l'angle $\widehat{\text{O}'\text{OA}}$. 

Rappeler et vérifier la relation qui existe entre ces deux derniers rapports trigonométriques.
\item Qu'appelle-t-on puissance du point O$'$ par rapport au cercle (O) ?

La calculer.
\item Une sécante passant par O$'$ coupe le cercle en E et F et le cercle (O$'$) en C et D.

Montrer que 

\[\overline{\text{O}'\text{E}} \cdot \overline{\text{O}'\text{F}} = \overline{\text{O}'\text{D}}^2 = 16.\]

Calculer EF si O$'$E $= 5$~cm.
\item Soit I un point du cercle (O$'$) autre que C et D.

Qu'est (O$'$I) pour le cercle circonscrit au triangle EFI ?
\end{enumerate}
\end{document}