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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Togo}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Togo juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\section*{Algèbre}

$f$ et $g$ sont les deux applications de $\R$ vers $\R$ déterminées par :
\begin{align*}
f(x) &= (- x + 1)^2\\
g(x) &= 4 x^2
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ ; $f \left(\dfrac{1}{3}\right)$ ; $g( -1)$ ; $g (1 + \sqrt{2})$.
\item $h $ étant l'application de $\R$ vers $\R$ déterminée par

\[h(x) = (- x + 1)^2 - 4x^2\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $h(x)$ sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $h(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item $k$ est la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ déterminée par :
\[k(x) =\dfrac{h(x)}{(2x - 2) (- 3x + 1)}\]
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $k$ ?
		\item Simplifier $k(x)$ dans cet ensemble $\mathcal{D}$.
		\item Résoudre dans $\mathcal{D}$ l'équation $k(x) = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Géométrie}

\medskip

Soit $\mathcal{P}$ le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A, B, C, D de coordonnées respectives 
\[(1~ ;~ 5) ;\qquad (1~;~8) ;\qquad (5~;~8) ;\qquad(5~;~5).\]

Placer ces points dans le plan $\mathcal{P}$ muni du repère orthonormé \Oij

et démontrer que le quadruplet $(A,\ B,\ C,\ D)$ est un rectangle.
\item On considère l'application $\mathcal{S}$ de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui à tout point M de coordonnées $(x~;~y)$ associe le point M' de coordonnées $(x',~y')$ telles que :
$\begin{cases}x' = -x + 2y\\y' = \phantom{- x + 2}y\end{cases}$
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées de A$'$, B$'$, C$'$, D$'$ images par $\mathcal{S}$ des points A, B, C, D.
		\item Placer A$'$, B$'$, C$'$ et D$'$ sur le dessin.
	\end{enumerate}
\item Calculer AD et A$'$D$'$ (AD représente la distance de A à D).

Peut-on en conclure que $\mathcal{S}$ est une isométrie ? Pourquoi ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que le quadruplet (A$'$, B$'$, C$'$, D$'$) est un parallélogramme.
		\item Est-ce un losange ?
		\item Démontrer que le triangle (A$'$, C, D) est un triangle rectangle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}