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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1982}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1982}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1982 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

On rappelle que pour tout réel $A : \sqrt{A^2} = |A|$. 

On considère l'application $f$ définie par

\[\begin{array}{l l c l}
f:&\R&\to&\R\\
&x&\longmapsto & 3x + 1 - 2\sqrt{(x-3)^2}
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0),\: f(3)$ et $f(- 3)$.
\item Démontrer que l'on peut partager $\R$ en deux intervalles dans chacun desquels $f(x)$ est du type : $f(x) =ax + b$,\: $a$ et $b$ étant des réels que l'on
déterminera.
\item Construire dans un repère cartésien \Oij{} la
représentation graphique de $f$.
\item Calculer $f\left(\sqrt 2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip


Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A$(-3~;~-1)$ et B(1~;~4).
\item La perpendiculaire à la droite (AB) en B coupe l'axe des abscisses en C.
	\begin{enumerate}
		\item Trouver une équation de la droite (BC).
		\item Trouver les coordonnées de C.
		
On trouve C(6~;~0).
	\end{enumerate}
\item On considère le vecteur $\vect{\text{BD}}$ défini par 

\[\vect{\text{BD}} = \vect{\text{BC}} - \vect{\text{BA}}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\vect{\text{BD}}= \vect{\text{AC}}$.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, D. C) ?
	\end{enumerate}
\item I étant le milieu de (A, C), la parallèle à la droite
(BC) passant par I coupe la droite (AB) en J.

Démontrer que le point J appartient au cercle de diamètre AI.
\end{enumerate}
\end{document}