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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1960}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small février 1960}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse février 1960~\decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip



\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient les polynômes
\[\begin{array}{l c r}
A(x) &=& 7x^2 - 11x - 7 \\
B(x) &=&4x^2 - \phantom{1}5x + 3,\\
C(x) &=&- 3x^2 + 10x + 2.
\end{array}\]

Calculer $A(x) - B(x) + C(x)$.

Vérifier pour $x = 2$.
\item Deux axes de coordonnées rectangulaires, O$x$ et O$y$, étant choisis, construire la ligne représentative de la fonction de $x$

\[y = A(x) - B(x) + C(x).\]

Trouver l'abscisse de son point d'intersection, I, avec O$x$.

Pouvait-on prévoir le résultat ?
\item Soit J le point d'intersection de la ligne précédente avec O$y$.

Trouver les coordonnées du milieu, M, de [IJ] et vérifier que ces coordonnées satisfont à l'équation $y = - 4x$.

Construire la droite représentant cette équation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Par deux points A et B d'une droite $(L)$ on mène deux demi-droites parallèles A$x$ et B$y$ situées d'un même côté de $(L)$ ; $a$ étant une longueur donnée, soient M le point de A$x$ tel que AM $= a$, N le point de B$y$ tel que BN $= 3a$.

MN coupe $(L)$ en un point D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer le rapport $\dfrac{\text{DA}}{\text{DB}}$.
\item Soit E le point de A$x$ (el que AE $= 2$AM.

(EB) coupe (MN) en I. Évaluer le rapport $\dfrac{\overline{\text{IM}}}{\overline{\text{IN}}}$.

Soit F le point de B$y$ tel que BF = 2BN.

Montrer que (FA) passe par I.
\item On appelle C le point de la droite $(L)$ défini par la relation
\[\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{DA}}{\text{DB}}.\]

Donner une construction simple du point C (sans utiliser le point I).

Que peut-on dire de la direction de la droite (IC) ?
\end{enumerate}
\end{document}