\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Toulouse juin 1952},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P. C.}
\lfoot{\small{Toulouse}}
\rfoot{\small{juin 1952}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse juin 1952~\decofourright}}}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et ordonner les expressions suivantes:
\[A = (x - 2)^2 + 4\:;\qquad  B = (x + 2)^2 + 4.\]

Effectuer le produit des polynômes $A$ et $B$.
\item Simplifier l'expression
\[\dfrac{1}{(x - 2)^2 + 4} + \dfrac{1}{(x + 2)^2 + 4} - \dfrac{2x^2}{x^2 + 64}.\]

\item Considérant $A$ et $B$ dans leur forme initiale, montrer que, quelle que soit la valeur numérique donnée à $x$,  $A$ et $B$ ne prennent jamais la valeur zéro.

Trouver le même résultat en considérant l'expression
du produit $A \times B$.

Les équations suivantes :

\[\begin{array}{l c l}
(x - 2)^2 + 4 = 0,\\
(x + 2)^2 + 4=0 
\end{array}\]
ont-elles des racines ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$.

On trace une demi-droite fixe O$x$, sur laquelle on marque les points A et B tels que OA $= R$, OB $= 2R$.

On considère enfin un diamètre \emph{variable} [CD] du cercle $\mathcal{C}$.

Les droites (AC) et (BD) se coupent en M et la parallèle à (CD) menée par M coupe O$x$ en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles BIM et BOD, puis les triangles AIM et AOC.
En déduire les égalités
\[\dfrac{\text{AI}}{\text{AO}} = \dfrac{\text{BI}}{\text{BO}}  = \dfrac{\text{IM}}{R}.\]

\item Calculer en fonction de $R$ la longueur des segments [AI], [IB], [OI] et  [IM].
\item Montrer que le point M décrit, lorsque le diamètre [CD] varie, un cercle fixe, que l'on déterminera.

Montrer que le point M$'$ commun aux droites (DA) et (BC) décrit le même cercle que~M.

Préciser la position des points M et M$'$ sur le cercle.
\end{enumerate}
\end{document}