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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Toulouse }}
\rfoot{\small{juin 1966}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Toulouse  juin 1966~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}



\smallskip

On donne les expressions algébriques suivantes : 
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&(2x + 5)^2 + 4(2x + 5) + \left(4x^2 - 25\right),\\
B(x) &=&(3x + 4)^2 - (x - 1)^2.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ sous forme d'un polynôme réduit et ordonné par rapport aux puissances décroissantes de $x$.
\item Écrire $A(x)$, puis $B(x)$, sous forme de produits de facteurs
(pour cette transformation, on utilisera l'expression de $A(x)$ donnée dans l'énoncé et non le polynôme obtenu dans la question 1 ).
\item Simplifier la fraction 
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)} ;\]
 soit $F'(x)$ la fraction simplifiée obtenue ; montrer que

\[F'(x) = 4 \dfrac{x + 1}{4x + 3}.\]

Quelles sont les valeurs numériques de la fraction $F'(x)$ pour
\[x = - 1,\qquad  x = \dfrac34, \qquad  x = -\dfrac34.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On considère un cercle de centre O et de rayon $R$, deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD], de ce
cercle et le point E du rayon [OA] tel que OE $ = \dfrac{R}{2}$.

La droite (CE) recoupe le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur du segment [CE] en fonction
de $R$.
\item Démontrer que les triangles CDM et CEO sont semblables.
\item Calculer, en fonction de $R$, les longueurs des côtés
et de la hauteur [MH] du triangle CDM.
\item Quelles sont les valeurs exactes du sinus, du
cosinus et de la tangente de l'angle $\widehat{\text{DCM}}$ ?
\item Calculer, en fonction de $R$, le rayon du cercle circonscrit au triangle OMD.
\end{enumerate}
\end{document}