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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1981}
\rfoot{\small Toulouse}
\lfoot{\small juin 1981}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Toulouse juin 1981 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On donne l'application $f$ de $\R$ dans $\R$ telle que

\[f(x) = 12x^2 - 3 + (5 - 4x)(1 - 2x).\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Développer $f(x)$.
\item Montrer que $f(x) = (2x - 1)(10x - 2)$.
\item Calculer $f(1,7), \:  f\left(\sqrt 3\right),\: f\left(\dfrac45\right)$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations

\begin{center}$f(x) = 0$\quad et \quad $f(x) = 2$.\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Soit $g$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que 

\[g(x) = ax + b ;\]

$a$ et $b$ désignant des réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $a$ et $b$ pour que

\begin{center}$g(1) = 8$\quad  et que \quad $g(-2) = - 22$.\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs de $x$ le quotient $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 
est-il défini ?
		\item Pour ces valeurs, montrer que 
		
\begin{center}$\dfrac{f(x)}{g(x)} = 2x - 1.$\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

Soit un triangle (A, B, C) rectangle en A.

I désigne le milieu de (B, C) et D le symétrique de A par rapport à I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que (A, B, D, C) est un rectangle.
\item On appelle P le milieu de (B, I). La droite (AP) coupe en Q la parallèle à la droite (BC) contenant D.

Montrer que P est le milieu de (A, Q). 

En déduire que (A, B, Q, I) est un parallélogramme.
\item Montrer que $\vect{\text{BQ}} = \vect{\text{ID}}$.

Montrer que (B, Q, D, I) est un losange.

En déduire que les points Q et I sont symétriques par
rapport à la droite (BD).
\end{enumerate}
\end{document}